Hans Walser, [20230507]

Pythagoreische Dreiecke

1 Worum geht es?

Visualisierung der Parametrisierung der pythagoreischen Dreiecke

2 Im Quadratraster

In einem Quadratraster zeichnen wir ein grünes rechtwinkliges Dreieck mit der ganzzahligen horizontalen Kathete u und der ganzzahligen vertikalen Kathete v (Abb. 1 für u = 3 und v = 2).

Abb. 1: Im Quadratraster

Wir ergänzen nach rechts oben zu einer Kette von insgesamt u solcher Dreiecke (Abb. 2).

Abb. 2: Dreiecke anfügen

Wir drehen das Ausgangsdreieck um 90° und fügen oben, nun nach links, v Exemplare an (Abb. 3).

Abb. 3: Weitere Dreiecke

3 Schräge

Nun geschieht etwas Seltsames: Wir können eine Schräge einfügen, die aus Quadraten zusammengesetzt ist, welche zu den Quadraten des Quadratrasters kongruent sind (magenta in Abb. 4). Es „geht auf“.

Abb. 4: Schräge

Dies müssen wir natürlich beweisen.

Ein grünes rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenusenlänge √(u² + v²).

Grün und magenta sparen ein (weißes) rechtwinkliges Dreieck aus, dessen eine Kathete u√(u² + v²) lang ist und die andere Kathete v√(u² + v²).

Für seine Hypotenuse, und das ist die magenta Schräge, erhalten wir mit Pythagoras die Länge √(u² + v²) √(u² + v²) = u² + v². Da u und v ganzzahlig sind, ist auch u² + v² ganzzahlig. Dies war zu zeigen.

Die Abbildung 5 zeigt die Abbildung 4 mit einigen Maßangaben.

Abb. 5: Maße

4 Pythagoreisches Dreieck

Eine ganzzahlige Schräge in einem Quadratraster kann zu einem pythagoreischen Dreieck ergänzt werden (gelb in Abb. 6 und 7).

Abb. 6: Pythagoreisches Dreieck

Abb. 7: Pythagoreisches Dreieck mit Maßangaben

Aus der Abbildung 7 lesen wir für das pythagoreische Dreieck folgende Maße ab:

a = u² – v² (horizontale Kathete)

b = 2uv (vertikale Kathete)

c = u² + v² (Hypotenuse)

Das sind aber genau die Formeln für die übliche Parametrisierung der pythagoreischen Dreiecke.

Weblinks

Hans Walser: Pythagorean Triangles

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagorean_Triangles/Pythagorean_Triangles.htm

Hans Walser: Pythagoreische 60°- und 120°-Dreiecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth-60-Dreiecke/Pyth-60-Dreiecke.htm

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke/Pyth_Dreiecke.htm

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke2/Pyth_Dreiecke2.htm

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke3/Pyth_Dreiecke3.htm

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke4/Pyth_Dreiecke4.htm

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke5/Pyth_Dreiecke5.html

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke6/Pyth_Dreiecke6.html

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dreiecke7/Pyth_Dreiecke7.html

Hans Walser: Pythagoreische Dreiecke falten

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Dr_falten/Pyth_Dr_falten.htm

Hans Walser: Pythagoreische Rechtecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/PythRechtecke/PythRechtecke.htm

Hans Walser: Pythagoreische Spiralen

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagoreische_Spiralen/Pythagoreische_Spiralen.htm

Hans Walser: Pythagoreische Spiralen

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagoreische_Spiralen2/Pythagoreische_Spiralen2.htm

Hans Walser: Pythagoreische Vierecke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Vierecke/Pyth_Vierecke.htm

Hans Walser: Pythagoreische Vierecke mit orthogonalen Diagonalen

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pyth_Vierecke2/Pyth_Vierecke2.htm