Hans Walser, [20110613a]

Pythagoreische Dreiecke

Anregungen: M. B., B. und A. R., S.

1 Worum geht es?

Es wird versucht, einige Eigenschaften der Pythagoreischen Zahlentripel und der pythagoreischen Dreiecke zu visualisieren.

2 Formeln

2.1 Generierung der pythagoreischen Zahlentripel

In der Regel werden die pythagoreischen Zahlentripel wie folgt generiert:

Wir wählen zwei natürliche Zahlen (Parameter) u und v mit folgenden Bedingungen:

Dann setzen wir:

a, b und c bilden ein primitives (teilerfremdes) pythagoreisches Zahlentripel. Auf diese Weise ergeben sich alle primitiven pythagoreischen Zahlentripel ([Dickson 1920] und [Dickson 1966]).

Die Bedingung (1) sichert, dass a, b, c positiv sind. Wenn wir auf die Bedingung (1) verzichten, müssen wir mit den Beträgen von a, b, c arbeiten, um ein Dreieck zeichnen zu können. Wir werden das im folgenden gelegentlich tun.

Wenn die Bedingung (2) verletzt ist, haben a, b, c den gemeinsamen Teiler 2.

Wenn die Bedingung (3) verletzt ist, haben a, b, c den gemeinsamen Teiler .

Wenn wir also zulassen, dass a, b, c gemeinsame Teiler haben, können wir auf die Einschränkungen (2) und (3) verzichten. Wir werden das im folgenden gelegentlich tun.

2.2 Umkehrung

Umgekehrt gelten die Formeln:

2.3 In- und Ankreisradien

Inkreisradius:

Ankreisradien:

Diese Radien sind ebenfalls natürlich Zahlen (vgl. [Baptist 1982]). Bei den Formeln für die Radien ist nicht recht einsichtig, warum der Inkreisradius eine Sonderrolle spielen soll.

Wenn wir auf die Bedingung verzichten, müssen wir mit den Beträgen arbeiten.

3 Darstellung im Koordinatensystem

3.1 Das Dreieck

In einem kartesischen Koordinatensystem wählen wir die Eckpunkte A, B, C der pythagoreischen Dreiecke wie folgt:

Die Koordinaten sind ganzzahlig. Wenn wir auf die Bedingung verzichten, können sie negativ sein.

Für den Mittelpunkt M des Umkreises (Thaleskreis) ergibt sich:

3.2 Zentren von In- und Ankreisen

Zentrum des Inkreises:

Zentren der Ankreise:

Bemerkung: Der Schwerpunkt dieser vier Punkte ist der Mittelpunkt M des Umkreises. Dies gilt allerdings in einem beliebigen Dreieck.

Bei den Formeln für die Zentren ist nicht recht einsichtig, warum der Inkreis eine Sonderrolle spielen soll.

3.3 Der W-Punkt

Wir definieren den Punkt . Er illustriert die beiden Parameter.

3.4 Beispiel

Die Abbildung 1 zeigt den Fall für . Dieser Punkt ist grün eingezeichnet. Es ist weiter:

Für den Inkreisradius erhalten wir:

Ankreisradien:

Zentrum des Inkreises:

Zentren der Ankreise:

Abb. 1: u = 4, v = 1

3.5 In der Gaußschen Zahlenebene

Mit erhalten wir zunächst den Punkt W. Wegen

ergibt sich durch der Punkt A. Aus den Regeln des Rechnens mit den komplexen Zahlen folgt, dass der Punkt W auf der Winkelhalbierenden des Winkels liegt.

4 Ausdehnung des Parameterbereiches

Wir verzichten nun ausdrücklich auf die einschränkende Bedingung . Es soll nun also .

Wir illustrieren die Situation an den acht Beispielen (Abb. 2):

Der grüne Punkt gibt jeweils die aktuellen Parameter an.

Abb. 2: Permutation der Parameter und Vorzeichen

Wir sehen, dass die Rollen der In- und Ankreise permutiert werden.

5 Visualisierung einzelner Punkte

5.1 Die Punkte W

Wir zeichnen die Punkte mit güner Quadratsignatur der Seitenlänge 1.

Die Bedingung führt zu einem etwas langweiligen Bild. Für die Abbildung 3 ist .

Abb. 3: u > v > 0

Mit den beiden Bedingungen ergibt sich ein Karo-Muster (Abb. 4).

Abb. 4: Karo-Muster

Mit den beiden Bedingungen wird es spannender (Abb. 5).

Abb. 5: u und v teilerfremd

Die Prinzahlen führen zu einer durchgehenden horizontalen oder vertikalen Linie. Deutlich sind auch die Primzahlzwillinge (zum Beispiel 11 / 13 oder 17 / 19) zu erkennen.

Das Muster wird noch interessanter, wenn wir auf die Einschränkung verzichten. Für die Abbildung 6 ist .

Abb. 6: u und v teilerfremd

Jede horizontale und jede vertikale Linie hat eine Translationssymmetrie. Als Beispiel etwa die horizontalen Linien für (Abb. 7).

Abb. 7: v = 5, 10, 15

Und nun alle drei Bedingungen, also . Wir erhalten so die Punkte W (Abb. 8).

Abb. 8: Die Punkte W

Die Primzahlen und insbesondere die Primzahlzwillingen sind nun als schräge Linien (mit den Steigungen ) erkennbar.

Im der Abbildung 8 ist die Bedingung weggelassen. Es ist .

Abb. 9: Bedingungen (2) und (3)

5.2 Die Punkte A

Der Punkt A ist gegeben durch . Wir stellen die Punkte mit blauer Kreissignatur dar.

Zunächst verwenden wir nur die Bedingung . Das ergibt ein „gebogenes“ Raster. In der Abbildung 10 ist .

Abb. 10: Gebogenes Raster

Um die Struktur des Rasters zu erkennen, lassen wir die Bedingung auch noch weg. In der Abbildung 11 ist . Die Punkte sind die Schnittpunkte von konfokalen liegenden Parabeln. Darin zeigt sich, dass hinter unseren Formeln die komplexe Quadratfunktion steckt. Die komplexe Quadratfunktion führt zu einer doppelten Überlagerung. Jede Punkt ist doppelt gezeichnet.