1 Worum geht es?

Geometrische Visualisierung der üblichen Parametrisierung der pythagoreischen Dreiecke mit Hilfe einer Spiegelung.

2 Erinnerung

Mit

ist

ein primitives pythagoreisches Tripel. Die Zahlen u und v heißen die Parameter des pythagoreischen Tripels und des zugehörigen pythagoreischen Dreieckes.

Die Tabelle 1 zeigt die ersten Werte.

u	v	a	b	c
2	1	3	4	5
3	2	5	12	13
4	1	15	8	17
4	3	7	24	25
5	2	21	20	41
5	4	9	40	41

Tab. 1: Pythagoreische Tripel

In den folgenden Abbildungen ist jeweils der Fall für u = 2 und v = 1 dargestellt.

3 Winkel

Aus den Formeln für die Katheten des pythagoreischen Dreiecks folgt für den Winkel β (Abb. 1):

Abb. 1: Winkel

4 Konstruktionsweg

Wir beginnen mit einem rechtwinkligen Dreieck mit den Parametern u und v als Katheten (Abb. 2a).

Abb. 2: Konstruktionsweg

Dieses Dreieck spiegeln wir an der Hypotenuse (Abb. 2b).

Nun ergänzen wir die Figur zum Rechteck (Abb. 2c).

Die beiden gelben Ergänzungsdreiecke sind pythagoreische Dreiecke zu den Parametern u und v.

5 Beweis

Der Beweis läuft über Winkel (Abb. 3).

Abb. 3: Beweisfigur

Im rechtwinkligen Startdreieck (Abb. 2a) mit den Katheten u und v gilt für den Winkel ϕ:

Durch das Spiegeln verdoppelt sich der Winkel. Aus dem Additionstheorem für den Tangens

ergibt sich:

Somit entspricht der Winkel 2ϕ dem Winkel β (Abb. 1). Das große gelbe Ergänzungsdreieck der Abbildung 3 hat also die Form des pythagoreischen Dreiecks der Abbildung 1. Beim kleinen gelben Ergänzungsdreieck sind die Seiten rechtwinklig zu den entsprechenden Seiten des großen Ergänzungsdreiecks. Es hat somit gleiche entsprechende Winkel. Die beiden Ergänzungsdreiecke sind also pythagoreische Dreiecke. Dies war zu zeigen.

Weblinks

Hans Walser: Pythagorean Triangles

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Pythagorean_Triangles/Pythagorean_Triangles.htm