Hans Walser, [20220131]
Sierpinski-n-Eck
Das Sierpinski-Dreieck wird auf regelmäßige Vielecke verallgemeinert.
Fleißarbeit mit vielen Bildern.
Das Zweieck ist eine Strecke. Ohne Rand gezeichnet, sehen wir gar nichts. Mit Rand gezeichnet, sehen wir Strecken, die sich zu einer zusammenhängenden Strecke zusammenfügen. Die individuellen Zweiecke gehen unter.
Das Problem lässt sich lösen, indem wir Kreisscheiben zeichnen (Abb. 1). Aber auch so ist das Resultat nicht umwerfend.
Der Skalierungsfaktor ist ½. Die Längen, zum Beispiel die Kreisradien, werden bei jedem Schritt halbiert.
Abb. 1: Zweieck
Zunächst das klassische Sierpinski-Dreieck (Abb. 2). Der Skalierungsfaktor ist ½.
Abb. 2: Sierpinski-Dreieck
Es geht auch mit Kreisen (Abb. 3).
Abb. 3: Kreise
Damit wir die Veränderungen sehen, müssen wir die Quadrate mit Rand zeichnen (Abb. 4). Der Skalierungsfaktor ist ½.
Abb. 4: Quadrat
Bei Kreisen kann auf die Randlinie verzichtet werden (Abb. 5).
Abb. 5: Kreise in quadratischer Anordnung
Bei Fünfecken (Abb. 6) haben wir den Skalierungsfaktor von etwa 0.382. Exakt ist es der Kehrwert des Quadrates des Goldenen Schnittes.
Abb. 6: Fünfecke
Die Abbildung 7 zeigt die Situation mit Kreisen.
Abb. 7: Kreise
Abb. 8: Sechseck
Abb. 9: Sechseck mit Kreisen
Abb. 10: Siebeneck
Abb. 11: Siebeneck mit Kreisen
Abb. 12a: Achteck
Abb. 12b: Standbild
Abb. 13: Achteck mit Kreisen
Die Idee ist folgende.
In ein regelmäßiges n-Eck mit Umkreisradius 1 werden n verkleinerte (skalierte) n-Ecke je in eine Ecke verschoben. Die Skalierung soll so sein, dass benachbarte n-Ecke sich berühren. Die Berührung kann an einer Ecke oder längs einer Kante stattfinden.
Bei der Version mit Kreises sollen die Kreise gleich wie die n-Ecke positioniert sein. Benachbarte Kreise sollen sich berühren.
Folgende von n abhängige Schlüsselzahlen sind relevant:
1. Der Skalierungsfaktor s
2. In der Kreisversion der Radius r des Startkreises.
Für die Berechnung der Schlüsselzahlen sind folgende Fallunterscheidungen erforderlich:
1.
Eckenzahl n ungerade.
In diesem Fall ist: s[n] = (sin(Pi/n))/(cos(Pi/2/n)+sin(Pi/n)), r[n] = sin(round(n/4)*2*Pi/n).
2. Eckenzahl n gerade
2.1 Eckenzahl n durch zwei, aber nicht durch vier teilbar.
In diesem Fall ist: s[n] = (sin(Pi/n))/(cos(Pi/n)+sin(Pi/n))), r[n] = cos(Pi/n).
2.2 Eckenzahl n durch vier teilbar.
In diesem Fall ist: s[n] = (sin(Pi/n))/(1+sin(Pi/n))), r[n] = 1.
Die Tabelle 1 gibt die ersten numerischen Daten. Wir sehen den Effekt der Fallunterscheidungen.
n |
s[n] |
r[n] |
2 |
.5000000000 |
1 |
3 |
.5000000000 |
.8660254040 |
4 |
.5000000000 |
.7071067810 |
5 |
.3819660112 |
.9510565165 |
6 |
.3333333333 |
1 |
7 |
.3079785283 |
.9749279123 |
8 |
.2928932189 |
.9238795325 |
9 |
.2577728011 |
.9848077531 |
10 |
.2360679776 |
1 |
11 |
.2215655467 |
.9898214419 |
12 |
.2113248655 |
.9659258263 |
13 |
.1942458587 |
.9927088741 |
14 |
.1820180970 |
1 |
15 |
.1729090848 |
.9945218954 |
16 |
.1659106812 |
.9807852804 |
17 |
.1557880951 |
.9957341763 |
18 |
.1479559045 |
1 |
19 |
.1417478085 |
.9965844930 |
20 |
.1367287360 |
.9876883406 |
Tab. 1: Schlüsseldaten
Websites
Hans Walser: Schneeflocke
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Schneeflocke/Schneeflocke.html
Hans Walser: Sierpinski,
Cantor & Co.
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sierpinski/Sierpinski.htm
Hans Walser: Sierpinski-Dreieck
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sierpinski2/Sierpinski2.htm
Hans Walser: Sierpinski-Dreieck
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sierpinski3/Sierpinski3.htm
Hans Walser: Sierpinski-Fraktale
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sierpinski-Fraktale/Sierpinski-Fraktale.htm
Hans Walser: Sierpinski-Triangle
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sierpinski-Triangle/Sierpinksi-Triangle.mp4
Hans Walser: Sierpinski-Würfel
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/SierpinskiWuerfel/SierpinskiWuerfel.pdf