Hans Walser, [20220130]

Schneeflocke

Anregung: G. S., S.

1 Worum geht es?

Spielerei um die Schneeflocke von Helge van Koch.

2 Sechsecke

Die Abbildung 1 zeigt die ersten Generationen eines auf einem regelmäßigen Sechseck basierenden Fraktals.

Abb. 1: Fraktal mit Sechsecken

Das Sechseck der Generation null wird mit einem Drittel skaliert und sechs Kopien werden so positioniert, dass ihre konvexe Hülle das Ausgangssechseck ist.

Im Bild der Tiefe 1 sehen wir im Zentrum den Davidstern, also die Tiefe 1 der Koch-Kurve.

Im Bild der Tiefe 2 ist im Zentrum die Koch-Kurve der Tiefe 2. Und wir sehen sechs kleine Koch-Kurven der Tiefe 1.

Im Bild der Tiefe 3 haben wir im Zentrum die Koch-Kurve der Tiefe 3, weiter einen Kranz von sechs Koch-Kurven der Tiefe 2 und schließlich 6² = 36 Koch-Kurven der Tiefe 1.

Und so weiter.

Im Grenzfall ist im Zentrum die Schneeflocke von Helge van Koch, dann ein Kranz von 6 kleineren Schneeflocken, weiter ein Kranzes-Kranz von 6² = 36 noch kleineren Schneeflocken, ein Kranz³ mit 6³ = 216 Schneeflocken, und so weiter und so fort. Ein ganzes Schneegestöber.

Die Abbildung 2 zeigt eine Animation.

Abb. 2: Schneeflocken

3 Kreise

Das Start-Sechseck der Generation null kann durch irgendeine Figur ersetzt werden. Zum Beispiel einen Kreis (Abb. 3).

Abb. 3: Kreise

In jeder Generation sind die Kreise eine Auswahl aus der dichtesten Kreispackung. Das schließliche Fraktal ist aber dasselbe wie beim Start mit einem Sechseck.

Abb. 4: Kreise

4 Zehneck und Vierzehneck

Es geht auch mit regelmäßigen Zehnecken (Abb. 5). Der benötigte Skalierungsfaktor ist der Kehrwert der dritten Potenz des Goldenen Schnittes, nämlich sin(π/10)/(1+sin(π/10)), etwa 0.236.

Abb. 5: Zehnecke

Ebenfalls geht es mit Vierzehnecken (Abb. 6). Der Skalierungsfaktor ist sin(π/14)/(1+sin(π/14)), etwa 0.182.

Abb. 6: Vierzehnecke

Allgemein geht es bei geraden Eckenzahlen, welche nicht durch vier teilbar sind. Der Grund ist ein geometrischer. Genau bei diesen Eckenzahlen ist bei zwei horizontal nebeneinanderliegenden Vielecken der Kontaktpunkt auf gleicher Höhe wie der Mittelpunkt der Vielecke. Bei anderen Eckenzahlen muss der Skalierungsfaktor mit einer anderen Formel berechnet werden.

Mit der Eckenzahl zwei geht es also auch, der Skalierungsfaktor ist ½. Wenn wir das Zweieck aber im style polygon (also ohne Randlinie) zeichnen, sehen wir gar nichts. Im style patch (mit Randlinie) sehen wir Strecken, die sich zu einer durchgehenden Geraden zusammensetzen. Die individuellen Zweiecke sind nicht unterscheidbar.

Hingegen geht es mit Kreisen. Das Resultat ist wie erwartet (Abb. 7).

Abb. 7: Kreise als Zweiecke

Wir haben jeweils doppelt so viele halb so große Kreise (worauf bezieht sich die Formulierung „halb so groß“?).

Literatur

Mandelbrot, Benoît B. (1983). The Fractal Geometry of Nature. New York: Freeman. ISBN 0-7167-1186-9

Mandelbrot, Benoît B. (1991). Die fraktale Geometrie der Natur. Basel: Birkhäuser.

Websites

Hans Walser: Dynamische Schneeflocke

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Dynamische_Schneeflocke/Dynamische_Schneeflocke.htm