1 Worum geht es?

Konstruktion einer Achterschleife. Unterschied zur Lemniskate.

2 Gleichschenkliges Dreieck

Wir halten bei einem gleichschenkligen Dreieck einen Schenkel fest und verdrehen den anderen (Abb. 1).

Für allfällige Berechnungen setzen wir die Schenkellänge 1 und die Spitze des gleichschenkligen Dreieckes in den Koordinatenursprung.

Abb. 1: Gleichschenkliges Dreieck

Nun kann man die Bahnkurven irgendwelcher „spezieller Punkte“ im Dreieck studieren.

3 Winkelhalbierende

Wir zeichnen die vom Punkt rechts unten ausgehende Winkelhalbierende und schneiden diese mit der Gegenseite (Abb. 2).

Abb. 2: Winkelhalbierende

Abb. 3: Bahnkurve des Schnittpunktes

4 Achterschleife

Die Bahnkurve ist eine Schleife(Abb. 4) mit der Polardarstellung:

(1)

Abb. 4: Schleife

Die Abbildung 5 zeigt die volle Achterschleife.

Abb. 5: Achterschleife

Aus (1) folgt durch Rechnung, dass wir im Kreuzungspunkt rechte Winkel haben. Wir können also eine Vierer-Rosette bauen (Abb. 6).

Abb. 6: Rosette

Die Abbildung 7 zeigt den Vergleich mit der Lemniskate. Die beiden Kurven sind weder kongruent noch ähnlich.

Abb. 7: Vergleich mit der Lemniskate

5 Spiegelpunkt

Wir spiegeln den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden mit der Gegenseite am Mittelpunkt dieser Gegenseite. Die Abbildung 8 zeigt die zugehörige Bahnkurve. Sie hat die Polardarstellung:

(2)

Abb. 8: Spiegelpunkt

Die Abbildung 9 zeigt die beiden Kurven im Dreiecksraster.

Abb. 9: Im Dreiecksraster

Websites

Klaus-Anton’s Blog:

https://artofproblemsolving.com/community/c2083h2761725_heartsuited_trajectory_gergonne_triangle_of_the_isosceles_triangle

Hans Walser: Herzkurve

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/H/Herzkurve6/Herzkurve6.html

Hans Walser: Lemniskate

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Lemniskate/Lemniskate.htm

Hans Walser: Lemniskate

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Lemniskate2/Lemniskate2.htm

Hans Walser: Lemniskate

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Lemniskate3/Lemniskate3.htm

Hans Walser: Lemniskate

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Lemniskate4/Lemniskate4.htm

Hans Walser: Lemniskatenmodell

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Lemniskatenmodell/index.html

Hans Walser: Lemniskatoid

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/L/Lemniskatoid/Lemniskatoid.htm