Hans Walser, [20160929]

Lemniskatoid

1     Worum geht es?

Topologische Fragen (Orientierbarkeit) einer speziellen RotationsflŠche

2     Das Lemniskatoid

Wir drehen eine liegende Acht (der Autor hat die Lemniskate genommen, das ist aber unwesentlich) um eine senkrechte Achse durch den Kreuzungspunkt (Abb. 1).

Abb. 1: Lemniskatoid

Die Abbildung 2 zeigt einen Achsenschnitt.

Abb. 2: Achsenschnitt

Topologisch gesehen ist die Lemniskate die †bergangsstelle vom Torus zur SphŠre.

Die Abbildung 3 zeigt den Achsenschnitt in der x,z-Ebene.

Abb. 3: Lemniskate

3     Orientierbarkeit

Wir gehen der Frage nach, ob das Lemniskatoid orientierbar ist.

3.1    LŠngs eines Meridians

Lo duca e io per quel cammino ascoso


intrammo a ritornar nel chiaro mondo;


e sanza cura aver d'alcun riposo,

 

salimmo , el primo e io secondo,


tanto ch'i' vidi de le cose belle


che porta 'l ciel, per un pertugio tondo.

 

Dante, La Divina Commedia

Inferno, Canto XXXIV

 

Prima vista hat man den Eindruck, man kšnne lŠngs eines Meridians beim Durchgang durch den Kreuzungspunkt vom Inneren ins €u§ere gelangen und umgekehrt.

Abb. 4: Durchgang

Damit wŠre das Lemniskatoid nicht orientierbar und so eine schšne Sache wie die Kleinsche Flasche.

Damit haben wir allerdings die Rechnung ohne unsere Existenzgrundlage, eben das Lemniskatoid, gemacht.

3.2    Kreuzende Meridiane

E pi corusco e con pi lenti passi


teneva il sole il cerchio di merigge,


che qua e lˆ, come li aspetti, fassi,

 

quando s'affisser, s“ come s'affigge


chi va dinanzi a gente per iscorta

se trova novitate o sue vestigge,

 

le sette donne al fin d'un'ombra smorta,


qual sotto foglie verdi e rami nigri

sovra suoi freddi rivi l'alpe porta.

 

Dante, La Divina Commedia

Purgatorio, Canto XXXIII

 

Die Abbildung 5 zeigt einen Ausschnitt beim Kreuzungspunkt.

Abb. 5: Ausschnitt

Ein durch zwei Meridiane begrenzter Streifen verhŠlt sich beim Kreuzungspunkt wie ein Mšbiusband. Er wird getwistet. Ein Wanderer auf diesem Streifen wird mitgedreht und befindet sich nach dem Durchgang wieder auf derselben Seite wie vorher (Abb. 6).

Abb. 6: Da gibt es kein Entrinnen

Somit ist das Lemniskatoid orientierbar.

4     Ausdehnung

Wir modifizieren unsere FlŠche wie folgt. Wir beginnen mit einem halben Lemniskatoid (Abb. 2) und setzen einen liegenden Lemniskatenzylinder an (Abb. 7). 

Abb. 7: Ansetzen eines Lemniskatenzylinders

Im Zylinderteil kšnnen wir gemŠ§ Abbildung 4 von innen nach au§en gelangen, ohne Mšbius-Twist. Die GesamtflŠche der Abbildung 7 ist daher nicht mehr orientierbar.

Der Symmetrie zuliebe schlie§en wir die FlŠche mit einem zweiten halben Lemniskatoid ab (Abb. 8).

Abb. 8: Abschluss

Die Abbildung 9 zeigt einen Ausschnitt aus der FlŠche der Abbildung 8. Der Ausschnitt ist ein Mšbius-Band.

Abb. 9: Mšbius-Band

5     Nachtrag: Stehendes Lemniskatoid

NatŸrlich hŠtten wir dieselben †berlegungen auch am stehenden Lemniskatoid (Abb. 10) durchfŸhren kšnnen.

Abb. 10: Hora incerta