Hans Walser, [20170910]

Lemniskate

Anregung: Haftendorn (2017)

1     Worum geht es?

Verallgemeinerung der Bernoulli-Lemniskate auf mehrere Pole.

2     Bernoulli-Lemniskate

Wir wŠhlen zwei Pole  und .

In der Standard-Darstellung besteht nun die Bernoulli-Lemniskate aus den Punkten  mit der Eigenschaft:

 

                                                                                                               (1)

 

 

Die Abbildung 1 zeigt die Bernoulli-Lemniskate.

Abb. 1: Bernoulli-Lemniskate

Im Doppelpunkt (Koordinatenursprung) schneidet sich die Lemniskate orthogonal.

3     Mehrere Pole auf dem Einheitskreis

3.1    RegelmŠ§ige Verteilung

Wir wŠhlen n regelmŠ§ig auf dem Einheitskreis verteilte Pole . Die Pole sind also die Ecken des regelmŠ§igen n-Ecks mit Umkreisradius 1.

Die verallgemeinerte Bernoulli-Lemniskate besteht aus den Punkten  mit der Eigenschaft:

 

                                                                                                               (2)

 

 

Fźr n = 1 ergibt sich der Kreis mit dem Mittelpunkt Eo und dem Radius 1.

Die Abbildung 2 zeigt die verallgemeinerte Bernoulli-Lemniskate fźr n = 3. Im Dreifachpunkt haben wir Schnittwinkel mit Vielfachen von 60ˇ. Beweis: Aus Symmetriegrźnden ist die Lemniskate orthogonal zu den Symmetrieachsen des durch die drei Pole gebildeten gleichseitigen Dreiecks.

Abb. 3: Bernoulli-Lemniskate mit drei Polen

Die folgenden Abbildungen zeigen weitere verallgemeinerte Bernoulli-Lemniskaten.

Abb. 3: Schlankes Kleeblatt

Die Abbildung 4 zeigt eine †berlagerung zweier KleeblŠtter.

Abb. 4: †berlagerung

Und schlie§lich noch siebenteilig (Abb. 5).

Abb. 5: Siebenteilig

3.2    UnregelmŠ§ig verteilt

Wir wŠhlen drei unregelmŠ§ig verteilte Pole (Abb. 6). Die Kurve geht zwar noch durch den Ursprung (Mittelpunkt des Einheitskreises), hat aber dort keinen Mehrfachpunkt.

Abb. 6: UnregelmŠ§ige Verteilung der Pole

Literatur

Haftendorn, Dšrte (2017): Kurven erkunden und verstehen. Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen. Wiesbaden: Springer Spektrum. ISBN 978-3-658-14748-8.