Hans Walser, [20170910]
Lemniskate
Anregung: Haftendorn (2017)
Verallgemeinerung der Bernoulli-Lemniskate auf mehrere Pole.
Wir wŠhlen zwei Pole und .
In der Standard-Darstellung besteht nun die Bernoulli-Lemniskate aus den Punkten mit der Eigenschaft:
(1)
Die Abbildung 1 zeigt die Bernoulli-Lemniskate.
Abb. 1: Bernoulli-Lemniskate
Im Doppelpunkt (Koordinatenursprung) schneidet sich die Lemniskate orthogonal.
Wir wŠhlen n regelmŠ§ig auf dem Einheitskreis verteilte Pole . Die Pole sind also die Ecken des regelmŠ§igen n-Ecks mit Umkreisradius 1.
Die verallgemeinerte Bernoulli-Lemniskate besteht aus den Punkten mit der Eigenschaft:
(2)
Fźr n = 1 ergibt sich der Kreis mit dem Mittelpunkt Eo und dem Radius 1.
Die Abbildung 2 zeigt die verallgemeinerte Bernoulli-Lemniskate fźr n = 3. Im Dreifachpunkt haben wir Schnittwinkel mit Vielfachen von 60ˇ. Beweis: Aus Symmetriegrźnden ist die Lemniskate orthogonal zu den Symmetrieachsen des durch die drei Pole gebildeten gleichseitigen Dreiecks.
Abb. 3: Bernoulli-Lemniskate mit drei Polen
Die folgenden Abbildungen zeigen weitere verallgemeinerte Bernoulli-Lemniskaten.
Abb. 3: Schlankes Kleeblatt
Die Abbildung 4 zeigt eine †berlagerung zweier KleeblŠtter.
Abb. 4: †berlagerung
Und schlie§lich noch siebenteilig (Abb. 5).
Abb. 5: Siebenteilig
Wir wŠhlen drei unregelmŠ§ig verteilte Pole (Abb. 6). Die Kurve geht zwar noch durch den Ursprung (Mittelpunkt des Einheitskreises), hat aber dort keinen Mehrfachpunkt.
Abb. 6: UnregelmŠ§ige Verteilung der Pole
Literatur
Haftendorn, Dšrte (2017): Kurven erkunden und verstehen. Mit GeoGebra und anderen Werkzeugen. Wiesbaden: Springer Spektrum. ISBN 978-3-658-14748-8.