1 Worum geht es?

Wir können (n –1) regelmäßige n-Ecke unterschiedlicher Größe so anordnen, dass die Umrissfigur eine Kardioide ist.

2 Beispiel

Wie viele regelmäßige Achtecke sind in der Figur der Abbildung 1 enthalten?

Abb. 1: Wie viele Achtecke?

Die Abbildung 2 zeigt die sieben Achtecke einzeln.

Abb. 2: Sieben Achtecke

Die Abbildung 2 illustriert auch den Konstruktionsvorgang. Wir beginnen mit einem (kleinen) regelmäßigen n-Eck und zeichnen darin eine Ecke aus, die dann gemeinsame Ecke aller weiteren n-Ecke wir. Die weiteren n-Ecke haben die Diagonalen des Start-n-Ecks als Seitenlängen. Da wir von einer Ecke ausgehend 2 Seiten und (n – 3) Diagonalen haben, ergeben sich insgesamt (n – 1) regelmäßige n-Ecke.

3 Figurenfolge

Allgemein können wir (n – 1) regelmäßige n-Ecke so anordnen, dass die Figur sich in eine Kardioide einpassen lässt (Abb. 3).

Die Figuren haben (jedenfalls für mich) einen gewissen ästhetischen Reiz.

In der Animation1 kann die Eckenzahl n mit einem Schieber eingegeben werden.

Abb. 3.3: Zwei Dreiecke

Abb. 3.4: Drei Vierecke

Abb. 3.5: Vier Fünfecke

Abb. 3.6: Fünf Sechsecke

Abb. 3.7: Sechs Siebenecke

Abb. 3.8: Sieben Achtecke

Abb. 3.9: Acht Neunecke

Abb. 3.10: Neun Zehnecke

Abb. 3.20: 19 20-Ecke

Abb. 3.40: 39 40-Ecke

4 Wo bleibt das letzte n-Eck?

In der Abbildung 4a erkennen wir fünf Fünfecke. Die Figur erinnert an eine Löwenschnauze.

Abb. 4: Fünf Fünfecke

Die Abbildung 4b zeigt den Konstruktionsvorgang. Wir beginnen mit einem regelmäßigen n-Eck (grau in Abb. 4b) und dessen Umkreis. In der Mitte eines Umkreisbogens setzen wir einen roten Punkt. Die von diesem Punkt ausgehenden n Strecken zu den Eckpunkten des grauen n-Eckes sind die Seitenlängen der n blauen n-Ecke.

Die n-Ecke erreichen die Kardioide nicht. Hingegen berührt der Umkreis des grauen n-Eckes die Kardioide.

Die Abbildung 5 zeigt weitere Beispiele.

In der Animation2 kann die Eckenzahl n mit einem Schieber eingegeben werden.