Hans Walser, [20130506]

Kardioide als Spiegelbild der Parabel bei Kreisspiegelung

1        Die Parabel

Wir beschreiben die Parabel durch:

 

Es handelt sich um eine ãliegendeÒ Parabel (Abb. 1). Der Ursprung ist der Brennpunkt.

Abb. 1: Liegende Parabel

2        Spiegelung am Einheitskreis

Bei der Spiegelung am blauen Einheitskreis wird ein Punkt P(x,y) auf den Punkt  abgebildet. Die Abbildungsgleichungen sind:

 

Die Punkte au§erhalb des blauen Einheitskreises werden ins Innere abgebildet und umgekehrt, der Ursprung wird in den unendlich fernen Punkt abgebildet. Der Einheitskreis bleibt punktweise fix.


Die Abbildung 2 zeigt die grŸne Parabel und ihr rotes Spiegelbild bei der Spiegelung am blauen Einheitskreis.

Abb. 2: Spiegelbild

Wir vermuten, dass das rote Spiegelbild der grŸnen Parabel die Kardioide ist.

3        Beweis

Wir beweisen umgekehrt, dass das Spiegelbild der Kardioide die Parabel ist. FŸr die Kardioide haben wir die Parameterdarstellung:

 

 

Die Abbildungsgleichungen der RŸckspiegelung sind:

 

Wegen

 

erhalten wir:

 

Wir haben die Parabelgleichung  zu verifizieren, also:

 

Dies kann leicht nachgerechnet werden.

4        Enveloppen

Die Parabel kann als Enveloppe ihrer Tangenten dargestellt werden (Abb. 3).

Abb. 3: Parabel als Enveloppe


Der Fu§punkt des Lotes vom Ursprung auf eine solche Tangente liegt auf der schwarzen Geraden  (Abb. 4). Diese schwarze Gerade ist die Scheiteltangente der Parabel.

Abb. 4: Lotfu§punkt


Nun spiegeln wir die grŸne Tangente und die schwarze Scheiteltangente am blauen Einheitskreis (Abb. 5). Beide werden zu Kreisen durch den Ursprung. Der rote Bildkreis der grŸnen Tangente ist Thaleskreis Ÿber der Strecke, welche durch den schwarzen Kreis aus dem Lot auf die grŸne Tangente herausgeschnitten wird.

Abb. 5: Spiegeln der Tangente


Die Abbildung 6 zeigt zusŠtzlich den BerŸhrungspunkt der grŸnen Tangente mit der Parabel einerseits und den BerŸhrungspunkt des roten Bildkreises, des Thaleskreises also, mit der Kardioide.

Abb. 6: BerŸhrungspunkte


In der Abbildung 7 schlie§lich ist die Kardioide als Enveloppe der Thaleskreise dargestellt.

Abb. 7: Kardioide als Enveloppe


Der €sthetik halber das Ganze gekippt (Abb. 8).

Abb. 8: Parabel und Kardioide