1 Worum geht es?

Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung.

2 Die quadratische Gleichung

Wir bearbeiten die quadratische Gleichung in der Form (sogenannte p-q-Formel):

Die formelmäßige Lösung ist:

3 Grafisches Vorgehen

In einem kartesischen Koordinatensystem schneiden wir den Thaleskreis k über den Punkten (–p, q) und (0, 1) mit der x-Achse (Abb. 1). Die x-Koordinaten der Schnittpunkte sind die Lösungen der quadratischen Gleichung.

Abb. 1: Grafisches Vorgehen

4 Nachweis

Der Nachweis geschieht rechnerisch.

4.1 Nachweis mit Kreisgleichung

Der Thaleskreis k hat den Mittelpunkt M und den Radius r:

Daraus ergibt sich für den Thaleskreis k die Kreisgleichung:

Diese Kreisgleichung lässt sich umformen zu:

Beim Schnitt mit der x-Achse ist y = 0. Von der Kreisgleichung bleibt übrig:

Dies ist aber unsere quadratische Gleichung.

4.2 Nachweis mit Pythagoras

Wir berechnen x₁ mit Hilfe des gelben rechtwinkligen Dreiecks.

Abb. 2: Nachweis mit Pythagoras

Es ist:

Dies entspricht der Lösung gemäß der p-q-Formel. Für x₂ entsprechend.

Weblinks

Hans Walser: Grafische Lösung einer quadratischen Gleichung

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Q/Quadratische_Gleichung/Quadratische_Gleichung.htm

Hans Walser: Quadratische Ergänzung

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Q/Quadr_Ergaenzung/Quadr_Ergaenzung.htm