Hans Walser, [20121219]

Quadratische ErgŠnzung

Anregungen: M. H. und T. S., V.

1     Worum geht es?

Die so genannte quadratische ErgŠnzung (sprachlich korrekt: ErgŠnzung zum Quadrat) ist ein gerne gebrauchtes Vehikel zur EinfŸhrung in das Thema der quadratischen Gleichungen. In der Regel werden zwei oder drei Beispiele mit der quadratischen ErgŠnzung durchgerechnet, und dann wird mit Hilfe der quadratischen ErgŠnzung die Lšsungsformel fŸr den allgemeinen Fall hergeleitet. Ab sofort ist dann die Anwendung der Lšsungsformel gefragt, und die quadratische ErgŠnzung gerŠt in Vergessenheit.

Im Folgenden wird ein Beispiel gezeigt, in welchem die quadratische ErgŠnzung unmittelbar zu einer einfachen Konstruktionsmethode fŸhrt.

2     Das Beispiel

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC in der Ÿblichen Beschriftung (Abb. 1) seien die Kathete a und der unterhalb der anderen Kathete liegende Hypotenusenabschnitt q gegeben. Gesucht ist der andere Hypotenusenabschnitt, also p.

Abb. 1: Situation

3     Rechnerische Bearbeitung

Der Kathentensatz liefert:

 

 

Das ist eine quadratische Gleichung fŸr p. Die allgemeine Lšsungsformel ergibt:

 

 

Unsere Lšsung muss positiv sein, also:

 

 

Es gibt verschiedene Methoden, eine quadratische Gleichung geometrisch zu lšsen. In unserem Beispiel geht es am einfachsten mit der quadratischen ErgŠnzung.

4     Geometrischer Lšsungsweg

Wir formen die durch den Kathetensatz gegebene Gleichung mit Hilfe der quadratischen ErgŠnzung um:

 

 

 

Diese Gleichung hat nun die Form des Satzes von Pythagoras fŸr ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und . Daraus ergibt sich unmittelbar eine Konstruktionsmethode fŸr p (Abb. 2).

Abb. 2: Lšsung

5     Sonderfall

Die Abbildung 2 erinnert an die klassische Konstruktion des Goldenen Schnittes. FŸr den Sonderfall  erhalten wir tatsŠchlich:

 

 

Literatur

[Walser 2009]     Walser, Hans: Der Goldene Schnitt. 5., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig 2009. ISBN 978-3-937219-98-1.