Hans Walser, [20070617a]

Grafische Lšsung einer quadratischen Gleichung

Anregung: D. M. und M. P.

1        Problemstellung

Wir lšsen die Gleichung:

 

Die Gleichung ist in einer in den Schulen unŸblichen Form gegeben. Diese Form ist aber die eigentlich ãnatŸrlicheÒ. Wir erhalten fŸr die Lšsungen:

 und

 

Beispiel: In der quadratischen Gleichung  ist  und  und daher:

 

 

2        Grafische Lšsungen

Wir besprechen drei verschiedene Methoden, die Gleichung grafisch zu lšsen. Bei allen drei Methoden muss eine Einheitsstrecke e gegeben sein.

2.1      Die einfachste Methode

Diese Methode findet sich vielerorts in der Literatur. Wir verwenden ein kartesisches Koordinatensystem (damit ist auch die EinheitslŠnge gegeben). †ber der Strecke AB mit  und  zeichnen wir den Thaleskreis und schneiden ihn mit der x-Achse. Die beiden Schnittpunkte sind  und .

Die Figur illustriert den Fall . Es ist  und .

 

Konstruktion

 

Konstruktionsprotokoll:

Nr.

Name

Definition

Algebra

1

Punkt A

Punkt auf yAchse

A = (0, 1)

2

Zahl p

 

p = 4

3

Zahl q

 

q = 12

4

Punkt B

(2 p, q)

B = (8, 12)

5

Punkt M

Mittelpunkt von A, B

M = (4, 6.5)

6

Kreis k

Kreis mit Mittelpunkt M durch A

k: (x - 4)² + (y - 6.5)² = 46.25

7

Punkt C

Schnittpunkt von k, xAchse

C = (6, 0)

7

Punkt D

Schnittpunkt von k, xAchse

D = (2, 0)

2.1.1    Beweis

Es ist . Der Thaleskreis k hat den Radius  und damit die Kreisgleichung:

 

 

FŸr den Schnitt mit der x-Achse setzen wir :

 

 

 

Die Schnittpunkte C und D fŸhren also zu den Lšsungen unserer quadratischen Gleichung.

Das Verfahren funktioniert auch fŸr negative p und/oder q.

2.2      Zweimalige Anwendung des Hšhensatzes

Wir zeichnen ,  und . †ber der Strecke  zeichnen wir den Thaleskreis und im Teilpunkt  eine Senkrechte . Das gibt auf dem Thaleskreis den Punkt A. Nun eine Parallele a zur Basislinie durch A.

Auf der Parallelen a zeichnen wir den Punkt B mit der x-Koordinate p.

Nun zeichnen wir einen Kreis um B mit Radius p und schneiden ihn mit der -Achse. Die Schnittpunkte C und D haben die x-Koordinaten  beziehungsweise .

Die Figur illustriert den Fall . Es ist  und .

 

Konstruktion

 

Konstruktionsprotokoll:

Nr.

Name

Definition

Algebra

1

Zahl p

 

p = 4

2

Zahl q

 

q = 12

3

Punkt O

 

O = (0, 0)

4

Punkt Q1

(q, 0)

Q1 = (12, 0)

5

Punkt Q2

(q + 1, 0)

Q2 = (13, 0)

6

Punkt M

Mittelpunkt von O, Q2

M = (6.5, 0)

7

Gerade q1

x = q

q1: x = 12

8

Kreis t

Kreis mit Mittelpunkt M durch O

t: (x - 6.5)² + y² = 42.25

9

Punkt A

Schnittpunkt von t, q1

A = (12, 3.46)

10

Gerade a

Gerade durch A parallel zu xAchse

a: y = 3.46

11

Gerade p1

x = p

p1: x = 4

12

Punkt B

Schnittpunkt von a, p1

B = (4, 3.46)

13

Kreis k

Kreis mit Mittelpunkt B und Radius p

k: (x - 4)² + (y - 3.46)² = 16

14

Punkt C

Schnittpunkt von k, xAchse

C = (6, 0)

14

Punkt D

Schnittpunkt von k, xAchse

D = (2, 0)

15

Punkt E

Schnittpunkt von k, a

E = (8, 3.46)

15

Punkt F

Schnittpunkt von k, a

F = (0, 3.46)

2.2.1    Beweis

Aus dem Hšhensatz im rechtwinkligen Dreieck  ergibt sich . Aus dem Hšhensatz im rechtwinkligen Dreieck  ergibt sich .

Somit haben wir:

 

 

 

Somit ist  eine Lšsung der gegebenen quadratischen Gleichung. Analog fŸr .

Das Verfahren funktioniert auch fŸr , nicht aber fŸr .

2.3      Stur nach Formel

Wir zeichnen die Lšsungsformel  und  nach.

Die Figur illustriert den Fall . Es ist  und .

 

Konstruktion

 

Konstruktionsprotokoll:

Nr.

Name

Definition

Algebra

1

Zahl p

 

p = 4

2

Zahl q

 

q = 12

3

Punkt O

 

O = (0, 0)

4

Punkt P1

(p, 0)

P1 = (4, 0)

5

Punkt P2

(p, p)

P2 = (4, 4)

6

Punkt P3

(0, p)

P3 = (0, 4)

7

Punkt P4

(p, -p)

P4 = (4, -4)

8

Vieleck P

Vieleck O, P1, P2, P3

P = 16

8

Strecke o

Strecke[O, P1] von Vieleck P

o = 4

8

Strecke p1

Strecke[P1, P2] von Vieleck P

p1 = 4

8

Strecke p2

Strecke[P2, P3] von Vieleck P

p2 = 4

8

Strecke p3

Strecke[P3, O] von Vieleck P

p3 = 4

9

Punkt Q1

(q, 0)

Q1 = (12, 0)

10

Punkt Q2

(q, p - 1)

Q2 = (12, 3)

11

Punkt Q3

(q, p)

Q3 = (12, 4)

12

Punkt Q4

(0, p - 1)

Q4 = (0, 3)

13

Vieleck Q

Vieleck Q4, Q2, Q3, P3

Q = 12

13

Strecke q4

Strecke[Q4, Q2] von Vieleck Q

q4 = 12

13

Strecke q2

Strecke[Q2, Q3] von Vieleck Q

q2 = 1

13

Strecke q3

Strecke[Q3, P3] von Vieleck Q

q3 = 12

13

Strecke p31

Strecke[P3, Q4] von Vieleck Q

p31 = 1

14

Gerade a

Gerade durch Q3, Q2

a: x = 12

15

Gerade d

Gerade durch P1, P2

d: x = 4

16

Gerade b

Gerade durch Q4, Q2

b: y = 3

17

Punkt A

Schnittpunkt von b, d

A = (4, 3)

18

Gerade c

Gerade durch P3, A

c: x + 4y = 16

19

Punkt B

Schnittpunkt von a, c

B = (12, 1)

20

Gerade e

Gerade durch B parallel zu xAchse

e: y = 1

21

Punkt C

Schnittpunkt von d, e

C = (4, 1)

22

Punkt D

Schnittpunkt von e, yAchse

D = (0, 1)

23

Punkt M

Mittelpunkt von C, P4

M = (4, -1.5)

24

Kreis k

Kreis mit Mittelpunkt M durch C

k: (x - 4)² + (y + 1.5)² = 6.25

25

Punkt E

Schnittpunkt von k, xAchse

E = (6, 0)

25

Punkt F

Schnittpunkt von k, xAchse

F = (2, 0)

 

Beschreibung des Vorgehens:

Wir zeichnen  als Quadrat mit den Ecken . Dann zeichnen wir das Rechteck  mit den Ecken  und verwandeln dieses Rechteck mit dem Gnomonverfahren in ein flŠchengleiches Rechteck  mit der LŠnge p. Das Differenzrechteck  hat nun den FlŠcheninhalt . Um daraus die Wurzel zu ziehen, verwenden wir den Hšhensatz. Wir zeichnen den Thaleskreis k Ÿber der Strecke mit  und schneiden diesen Thaleskreis mit der x-Achse. Das gibt die Punkte  und . Die x-Koordinaten der Punkte E und F sind die Lšsungen der quadratischen Gleichung.

Das Verfahren funktioniert auch fŸr negative p und/oder q.

3        Komplexe Lšsungen

FŸr  ergibt sich die quadratische Gleichung  mit den beiden konjugiert komplexen Lšsungen . Wie sieht das bei unseren grafischen Verfahren aus?

3.1      Die einfachste Methode

Der Kreis k schneidet die x-Achse nicht.

 

Keine reelle Lšsung

 

Um das Problem zu Lšsen, gehen wir in den Raum. Die x-Achse soll die bisherige Rolle weiterspielen, die y-Achse halten wir frei fŸr die imaginŠre Richtung, so dass die x,y-Ebene die Rolle der Gau§schen Zahlenebene Ÿbernimmt, und die z-Achse soll die Rolle der bisherigen y-Achse Ÿbernehmen. Das sieht dann zunŠchst so aus:

 

Im Raum

 

3.1.1    Zwischenspiel: Hyperboloid

Wenn wir in der Kugelgleichung  ein Vorzeichen abŠndern, zum Beispiel zu , erhalten wir ein einschaliges Rotationshyperboloid mit gleichseitigen Hyperbeln als Profillinien. Der Kehlkreis (Breitenkreis mit kleinstem Umfang) hat in diesem Beispiel den Radius 1. 

 

Rotationshyperboloid

 

Wir verwenden nun solche Hyperboloide zur Konstruktion der grafischen Lšsungen der quadratischen Gleichung.

3.1.2    Beispiel

Im Beispiel  verwenden wir den gezeichneten Kreis als Kehlkreis eines Hyperboloides. Dieses ist durch den Kehlkreis eindeutig festgelegt. Das Hyperboloid schneiden wir mit der x,y-Ebene, also mit der Gau§schen Ebene. Die Schnittfigur ist eine Hyperbel, deren Scheitel sind die Lšsungen.

 

Schnitt mit der Gau§schen Zahlenebene

 

3.1.3    Allgemein

Dieses Verfahren funktioniert auch im reellen Fall. Die Hyperbel erscheint dann um 90¡ gedreht. Die Scheitel liegen auf der x-Achse.

Somit haben wir allgemein:

Wir zeichnen zunŠchst in der x,z-Ebene den Kehlkreis und dazu das Hyperboloid. Der schnitt mit der x,y-Ebene, also der Gau§schen Zahlenebene, ergibt eine Hyperbel. Deren Scheitelpunkt sind die Lšsungen der quadratischen Gleichung.

Beweis:

Der Kehlkreis hat die Gleichungen:

 

 

Das Hyperboloid hat daher die Gleichung:

 

Schnitt mit  ergibt:

 

Dies lŠsst sich vereinfachen zu:

 

Das ist die Gleichung einer gleichseitigen Hyperbel in der x,y-Ebene.

Fallunterscheidung:

(I)       

 

Die Hyperbel schneidet die x-Achse. FŸr  erhalten  und .

 

Die Figur illustriert den Fall . Es ist , sowie  und .

 

Hyperbel mit Scheitelpunkten

 

(II)     

 

Die Hyperbel degeneriert zu zwei Geraden: 

Die beiden Scheitel fallen zusammen und sind reell. Wir haben eine Doppellšsung.

Die Figur illustriert den Fall . Es ist , sowie .

 

Doppellšsung

 

(III)    

 

Die Hyperbel  hat die Scheitelpunkte auf der Symmetrieachse . FŸr  ergibt sich

 

 

 

Die Scheitelpunkte haben also die Koordinaten ; es ist also  und .

 

Die Figur illustriert den Fall . Die Hyperbel hat die Gleichung . Es ist .

 

Komplexer Fall

 

3.2      Andere Methoden

In den Methoden Zweimalige Anwendung des Hšhensatzes und Stur nach Formel kann všllig analog mit dem Hyperboloid gearbeitet werden.