Hans Walser, [20210610]
Stetige Teilung
Wir arbeiten mit der positiven Lšsung der Gleichung:
(1)
Die positive Lšsung ist:
(2)
Es handelt sich hier um den Goldenen Schnitt (Walser 2013).
Die Abbildung 1 zeigt eine Illustration mit Kreisen.
Abb. 1: Radien im Goldenen Schnitt
Der gro§e Au§enkreis hat den Radius 1. Der mittlere Kreis hat den Radius x und der kleine den Radius x2.
Euklid verwendete fŸr den Goldenen Schnitt die Formulierung Stetige Teilung. Das TeilverhŠltnis von mittel zu gro§ ist dasselbe wie von klein zu mittel. Wichtig ist dabei, dass die Summe der Radien des mittleren und des kleinen Kreises den Radius des gro§en Kreises ergeben.
Die kubische Gleichung
(3)
hat die positive Lšsung:
(4)
Entsprechend erhalten wir eine Kreisdarstellung (Abb. 2).
Abb. 2: Kubische Situation
Die Gleichungen
(5)
haben die positiven numerischen Lšsungen der Tabelle 1.
n |
x |
1 |
1 |
2 |
0.6180339880 |
3 |
0.5436890125 |
4 |
0.5187900637 |
5 |
0.5086603916 |
6 |
0.5041382584 |
7 |
0.5020170552 |
8 |
0.5009941779 |
9 |
0.5004931183 |
10 |
0.5002454623 |
Tab. 1: Positive Lšsungen
Die Lšsungen streben fŸr wachsendes n gegen 0.5. Das ist auch klar, weil:
(6)
Die Abbildung 3.1 zeigt fŸr n = 1, ... , 10 die Grafen von:
(7)
Die positiven reellen Nullstellen sind die Lšsungen der Tabelle 1. Sie streben gegen 0.5.
Abb. 3: Nullstellen
Die Abbildung 3.2 zeigt die Funktionsgrafen fŸr n = 1, ... , 100. FŸr ungerade n haben wir keine weitere reelle Nullstelle. FŸr gerade n gibt es noch eine negative Nullstelle. Diese Nullstellen streben gegen –1.
Abb. 3.2: Weitere Grafen
Die Abbildung 4 zeigt die Kreis-Situation fŸr n = 4, ... , 10.
Abb. 4: Kreise
Abb. 5: ZusŠtzliche Kreise
Abb. 6.1: Fraktal
FŸr die Anzahlen der Kreise erhalten wir geordnet nach Radien und Farben (die Abbildung 6.1a gibt eine ZŠhlhilfe):
Radius |
Kreise total |
Rote Kreise |
Gelbe Kreise |
x0 |
1 |
1 |
0 |
x1 |
1 |
0 |
1 |
x2 |
2 |
1 |
1 |
x3 |
3 |
2 |
1 |
x4 |
5 |
2 |
3 |
x5 |
8 |
4 |
4 |
x6 |
13 |
7 |
6 |
x7 |
21 |
10 |
11 |
Tab. 2: AbzŠhlen der Kreise
Abb. 6.1a: ZŠhlhilfe
Abb. 6.2: Farbduales Fraktal
Literatur
Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.
Websites
Hans Walser: Miniaturen. Goldener Schnitt
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen_Uebersicht/Goldener_Schnitt/index.html
Hans Walser: Stetige Teilung
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Stetige_Teilung/Stetige_Teilung.htm