Hans Walser, [20181103]

Stetige Teilung

1     Worum geht es?

Die Euklidische Definition der stetigen Teilung wird verallgemeinert.

2     Euklid

Eine Strecke hei§t stetig geteilt (Walser 2013, S. 13), wenn fźr die Teilstrecken  und  mit  gilt:

 

                                                                                                                   (1)

 

 

 

Die Abbildung 1 illustriert den Sachverhalt.

Abb. 1: Stetige Teilung

Man spricht in dieser Situation auch von der Teilung im Goldenen Schnitt.

3     Drei Teile

Wir arbeiten mit drei Teilstźcken ,  und  mit , und es soll gelten:

 

                                                                                               (2)

 

 

 

Die Abbildung 2 illustriert den Sachverhalt.

Abb.3: Drei Teile

4     Allgemeint mit n Teilen

Wir arbeiten mit n Teilstźcken , und es soll gelten:

 

                                                     (3)

 

 

 

Die Abbildung 3 illustriert den Sachverhalt fźr n = 2, 3, ... , 10.

Abb. 3: Stetige Teilungen

Die Abbildung 4 zeigt dasselbe mit Balkendiagrammen.

Abb. 4: Stetige Teilungen

5     Numerisches

Die Gleichung (3) beinhaltet nur  Gleichungen fźr die n Unbekannten . Wir fźhren als weitere Gleichung die Normierung

 

                                                                                                                       (4)

 

 

 

ein.

5.1    Zwei Teile

Fźr n = 2 erhalten wir die Werte der Tabelle 1.

 

i

1

0.6180339887

2

0.3819660113

Tab. 1: Zwei Teile

Wir erhalten die Werte des Goldenen Schnittes.

5.2    Drei Teile

Fźr n = 3 erhalten wir die Werte der Tabelle 2.

 

i

1

0.4450418679126268

2

0.3568958678922133

3

0.19806226419515996

Tab. 2: Drei Teile

Die drei Teile bilden keine geometrische Folge.

5.3    Vier Teile

Fźr n = 4 erhalten wir die Werte der Tabelle 3.

 

i

1

0.3472963553338607

2

0.30540728933227856

3

0.2266815969056775

4

0.12061475842818324

Tab. 3: Vier Teile

5.4    Fźnf Teile

Fźr n = 5 erhalten wir die Werte der Tabelle 4.

 

i

1

0.28462967654657034

2

0.2615706729106323

3

0.217320768976165

4

0.15546482879562723

5

0.08101405277100522

Tab. 4: Fźnf Teile

Literatur

Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.