Hans Walser, [20200118]
RegelmŠ§ige Rhomboeder
Anregung: L. H., B.
Formel fŸr SeitenflŠchenwinkel und FlŠchenwinkel bei regelmŠ§igen Rhomboedern.
SeitenflŠchen sind kongruente Rhomben. Mit bezeichnen wir den spitzen Rhombenwinkel, mit den stumpfen Rhombenwinkel.
An den stumpfen Winkeln der Rhomben kommen drei Rhomben zusammen.
An den spitzen Winkeln der Rhomben kommen k Rhomben zusammen.
Rhombendodekaeder: k = 4
Rhombentriakontaeder: k = 5
Zu gegebenem k sind und der FlŠchenwinkel gesucht.
Wir schneiden eine Ecke mit spitzen Rhombenwinkeln und eine Ecke mit stumpfen Rhombenwinkeln je mit einer Einheitskugel (Abb. 1 fŸr das Rhombendodekaeder).
Abb. 1: Einheitskugeln in den Ecken
In einer Ecke mit k spitzen Rhombenwinkeln schneiden die Rhomben aus der Kugel ein regelmŠ§iges sphŠrisches k-Eck heraus (Abb. 2 fŸr k = 4). Dieses hat die SeitenlŠnge und besteht aus k gleichschenkligen sphŠrischen Dreiecken. Wir halbieren eines davon mit der Symmetrielinie und erhalten das in der Abbildung 2 markierte rechtwinklige sphŠrische Dreieck ABC.
Abb.2: RegelmŠ§iges sphŠrisches k-Eck
Der Winkel bei A ist der halbe FlŠchenwinkel, also . Bei B haben wir den Winkel und bei C einen rechten Winkel. Der Bogen CA hat die LŠnge .
Dies ist Fall fŸr den sphŠrischen Winkel-Kosinus-Satz. Dieser lautet allgemein:
(1)
In unserem Fall ist:
(2)
Der reche Winkel vereinfacht die Sache.
In einer Ecke mit drei stumpfen Rhombenwinkeln schneiden die Rhomben aus der Kugel ein regelmŠ§iges sphŠrisches Dreieck heraus (Abb. 3). Dieses hat die SeitenlŠnge und besteht aus drei gleichschenkligen sphŠrischen Dreiecken. Wir halbieren eines davon mit der Symmetrielinie und erhalten das in der Abbildung 3 markierte rechtwinklige sphŠrische Dreieck ABC.
Abb. 3: RegelmŠ§iges sphŠrisches Dreieck
Der Winkel bei A ist der halbe FlŠchenwinkel, also . Bei B haben wir den Winkel und bei C einen rechten Winkel. Der Bogen CA hat die LŠnge .
Wiederum ein Fall fŸr den sphŠrischen Winkel-Kosinus-Satz (1). In unserem Fall ist nun:
(3)
Aus (2) und (3) ergibt sich durch Elimination von :
(4)
Daraus folgt:
(5)
Schlie§lich erhalten wir aus (3):
(6)
Dies kann mit einiger Rechnung durch Einsetzen von (4) umgeformt werden zu:
(7)
Damit haben wir und durch k ausgedrŸckt.
Die Tabelle 1 gibt die ersten numerischen Werte.
k |
Spitzer
|
Stumpfer
|
FlŠchenwinkel |
Bemerkungen |
3 |
90¡ |
90¡ |
90¡ |
Rhombenhexaeder |
4 |
70.52877932¡ |
109.4712207¡ |
120¡ |
Rhombendodekaeder |
5 |
63.43494883¡ |
116.5650512¡ |
144¡ |
Rhombentriakontaeder |
6 |
60¡ |
120¡ |
180¡ |
Rhombenparkett (Abb. 4) |
7 |
58.05688136¡ |
121.9431186¡ |
180¡ – 28.18913834i¡ |
komplex |
Tab. 1: Numerische Werte
FŸr k = 3 ergibt sich der WŸrfel als Sonderfall eines regelmŠ§igen Rhomboeders.
FŸr k = 4 (Rhombendodekaeder) erkennen wir die kristallografischen Winkel. Diese sind auch die Diagonalenschnittwinkel in einem DIN A4-Papier (Walser 2013b). Der FlŠchenwinkel ist der Innenwinkel des regelmŠ§igen ebenen Sechseckes.
FŸr k = 5 (Rhombentriakontaeder) haben wir die Diagonalenschnittwinkel des Goldenen Rechteckes (Walser 2013a). Der FlŠchenwinkel ist der Innenwinkel des regelmŠ§igen ebenen Zehnecks.
FŸr k = 6 ergibt sich das Rhombenparkett der Abbildung 4.
Abb. 4: Rhombenparkett
Ab k = 7 gibt es keine reellen Lšsungen.
Websites
Hans Walser: FlŠchenwinkel bei regelmŠ§igen Polyedern
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechenwinkel_regelm/Flaechenwinkel_regelm.htm
Hans Walser: FlŠchenwinkel
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Flaechenwinkel/Flaechenwinkel.htm
Hans Walser: SphŠrische Trigonometrie
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sphaer_Trigo/Sphaer_Trigo.pdf
Hans Walser: Formeln fŸr die sphŠrische, euklidische und hyperbolische Geometrie
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/F/Formeln/Formeln.htm
Literatur
Walser, Hans (2013a): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.
Walser, Hans (2013b): DIN A4 in Raum und Zeit. Silbernes Rechteck – Goldenes Trapez – DIN-Quader. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-69-1.
Walser, Hans (2017): EAGLE STARTHILFE Kartografie. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-95922-098-9.