Hans Walser, [20100103a]

Formeln für die sphärische, euklidische und hyperbolische Geometrie

1 Sphärische Geometrie

1.1 Sphärische Dreiecke und Vielecke auf der Einheitskugel

1.2 Sphärische Trigonometrie

Seiten-Kosinus-Satz

Winkel-Kosinus-Satz

Sinus-Satz

1.3 Rechtwinkliges Dreieck

Rechter Winkel bei C

1.4 Kreis

Geodätischer Radius r auf der Oberfläche der Einheitskugel.

Kreisumfang

Kreisfläche

1.5 Regelmäßiges Vieleck

Ein regelmäßiges Vieleck mit n Ecken habe den Umkreisradius r, die Seitenlänge und die Diagonalenlängen . Figur für .

Regelmäßiges Vieleck

Dann gilt:

2 Euklidische Geometrie

2.1 Ebene Dreiecke und Vielecke

Keine Flächenformel, die mit Winkeln arbeitet. Zoomen verändert Flächeninhalt, nicht aber die Winkel.

2.2 Ebene Trigonometrie

(Seiten-)Kosinus-Satz

(Winkel-)Kosinus-Satz

Sinus-Satz

2.3 Rechtwinkliges Dreieck

Rechter Winkel bei C

2.4 Kreis

Kreisumfang

Kreisfläche

2.5 Regelmäßiges Vieleck

Bezeichnung wie im sphärischen Fall. Es gilt:

3 Hyperbolische Geometrie

3.1 Hyperbolische Dreiecke und Vielecke

3.2 Hyperbolische Trigonometrie

Hyperbolischer Seiten-Kosinus-Satz

Hyperbolischer Winkel-Kosinus-Satz

Hyperbolischer Sinus-Satz

3.3 Rechtwinkliges Dreieck

Rechter Winkel bei C

3.4 Kreis

Kreisumfang

Kreisfläche

3.5 Regelmäßiges Vieleck

Bezeichnung wie im sphärischen Fall. Es gilt:

4 Bemerkungen

4.1 Links zwischen den Formelgruppen

Es gelten rein schreibtechnisch die Entsprechungen:

	Sphärische Geometrie	Ebene Geometrie	Hyperbolische Geometrie
Seiten x
Seiten x
Winkel

Mathematischer Link: Wir stellen uns ein kleines sphärisches oder hyperbolisches Dreieck vor. Dabei werden die drei Seiten a, b, und c klein, nicht aber die drei Winkel , und . Für die Funktionen der Seiten verwenden wir Taylor-Entwicklungen bis zum Grad 2:

So gelangen wir von den sphärischen oder hyperbolischen Formeln zu jenen der ebenen Geometrie.

Beispiel: Aus

erhalten wir:

Den Term lassen wir weg, da er vom vierten Grad ist. Damit erhalten wir:

Das ist aber der Kosinussatz der ebenen Geometrie.

4.2 Euklidische Geometrie

Etliche Formeln der euklidischen Geometrie stehen nur aus Systemgründen da. Inhaltlich besagen sie .

Beispiel: (Winkel-)Kosinus-Satz

Daraus ergibt sich:

4.3 Sphärischer und hyperbolischer Kreis

In den konformen Darstellungen, nämlich der stereografischen Projektion für die sphärische Geometrie und dem Kreismodell von Poincaré für die hyperbolische Geometrie, werden Kreise auch planimetrisch als Kreise (in Sonderfällen als Geraden) dargestellt. Der sphärische oder hyperbolische Mittelpunkt ist aber nicht der planimetrische Mittelpunkt der Kreisbilder.

Exzentrischer Kreis