Hans Walser, [20200125]

KugeloberflŠche

Anregung: H. A. und M. L., L.

1     Worum geht es?

Animation zur Illustration der Kugeloberflache

2     Kugel, Kreis und Formeln

Wir vergleichen die Kugel mit dem Radius r mit dem Kreis mit dem doppelten Radius, also mit dem Radius 2r (Abb. 1).

Abb. 1: Kugel und Kreis

Die Kugel mit dem Radius r hat die OberflŠche:

 

                                                                                                                         (1)

 

Der Kreis mit dem Radius 2r hat den FlŠcheninhalt:

 

                                                                                                                         (2)

 

Die beiden FlŠcheninhalte sind gleich.

3     Seilspiralen

Die Idee ist nun, ein Seil einmal auf dem Kreis als archimedische Spirale und einmal auf der Kugel aufzuwickeln. Die Abbildung 2a zeigt die archimedische Seilspirale auf dem Kreis, die Abbildung 2b die entsprechende Spirale auf der Kugel.

Abb. 2a: Archimedische Seilspirale

Abb. 3b: Seilspirale auf der Kugel

Wir kšnnen nun von der archimedischen Spirale ab- und auf die Kugel aufwickeln. Die Abbildungsfolge 3 illustriert dies mit Standbildern.

Abb. 3a

Abb. 3b

Abb. 3c

Die Animation 1 illustriert das Vorgehen.

 

Animation1.gif

Animation 1: Von der archimedischen Spirale zur Kugel

4     Kugel und Zylinder

Der Zylinder mit dem Radius r und der Hšhe 2r hat die MantelflŠche:

 

                                                                                                                       (3)

 

Wir haben also wiederum eine FlŠchengleichheit zur KugeloberflŠche (Abb. 4).

Abb. 4: Kugel und Zylinder

Die Animation 2 illustriert den Sachverhalt.

 

Animation2.gif

Animation 2: Vom Zylinder zur Kugel

5     Kreis und Zylinder

Abb. 5: Kreis und Zylinder

Natźrlich kšnnen wir auch vom Kreis zum Zylinder źberwickeln (Animation 3).

 

Animation3.gif

Animation 3: Vom Kreis zum Zylinder

Websites

Hans Walser: Aufwickel-Pythagoras

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/A/Aufwickel-Pythagoras/Aufwickel-Pythagoras.htm