Hans Walser, [20160915], [20180205]
Kreisausschšpfung
Anregung: Chr. H., O.
Es werden falsche und richtige Methoden der Kreis- und Kugelberechnung besprochen.
Ein altgedienter Trick zur approximativen Bestimmung der KreisflŠche besteht darin einen Kreis auf Karopapier zu zeichnen und die Karos auszuzŠhlen.
Die Abbildung 1.1 zeigt die Situation fŸr 1, 2 und 3 KarolŠngen als Radius.
Abb. 1.1: Radien 1, 2, 3
Wir zŠhlen jeweils diejenigen Quadrate, deren Mittelpunkt innerhalb des Kreises liegen. Dabei stellt sich die Frage nach den Mittelpunkten, die genau auf dem Kreis liegen. Hier kann Entwarnung gegeben werden: Dieser Fall kann nicht vorkommen. Mathematisch: Es gibt keinen Punkt mit zwei echt halbzahligen Koordinaten, der vom Ursprung einen ganzzahligen Abstand hat (Walser 2016).
In der Abbildung 1.2 haben wir die Radien 4 und 5.
Abb. 1.2: Radien 4 und 5
In der Abbildung 1.3 haben wir den Radius 10.
Abb. 1.3: Radius 10
Die Tabelle 1 zeigt die Resultate des AuszŠhlens.
Um die Kreiszahl ¹ approximativ zu bestimmen, mŸssen wir die Anzahl der Karos durch das Quadrat des Radius dividieren.
Radius |
Anzahl Karos |
Approx. ¹ |
1 |
4 |
4. |
2 |
12 |
3. |
3 |
32 |
3.555555556 |
4 |
52 |
3.250000000 |
5 |
80 |
3.200000000 |
6 |
112 |
3.111111111 |
7 |
156 |
3.183673469 |
8 |
208 |
3.250000000 |
9 |
256 |
3.160493827 |
10 |
316 |
3.160000000 |
100 |
31428 |
3.142800000 |
1000 |
3141676 |
3.141676000 |
10000 |
314159388 |
3.141593880 |
Tab. 1: Approximation der Kreiszahl ¹
Unser ZŠhlkriterium fŸr ein einzelnes Karo war die Position seines Mittelpunktes. Deshalb haben wir Karos, die nur teilweise im Kreis liegen und mitgezŠhlt wurden, und andererseits auch Karos, die nicht mitgezŠhlt wurden, obwohl sie teilweise im Kreis liegen.
Nach den Regeln der Kunst hŠtten wir mit Innensumme und Au§ensumme arbeiten mŸssen. Die Innensumme ist die Anzahl derjenigen Karos, die im Kreis enthalten sind. Die Au§ensumme ist die Anzahl derjenigen Karos, die als Gesamtfigur den Kreis enthalten. Die Abbildung 2 illustriert fŸr den Radius 10 Innen- und Au§ensumme.
Abb. 2: Innen- und Au§ensumme
Die Tabelle 2 zeigt die entsprechenden Anzahlen und Approximationen von ¹.
Radius |
|
Innensumme |
Approx. ¹ |
|
Au§ensumme |
Approx. ¹ |
1 |
|
0 |
0. |
|
4 |
4. |
2 |
|
4 |
1. |
|
16 |
4. |
3 |
|
16 |
1.777777778 |
|
36 |
4. |
4 |
|
32 |
2. |
|
60 |
3.750000000 |
5 |
|
60 |
2.400000000 |
|
88 |
3.520000000 |
6 |
|
88 |
2.444444444 |
|
132 |
3.666666667 |
7 |
|
120 |
2.448979592 |
|
172 |
3.510204082 |
8 |
|
164 |
2.562500000 |
|
224 |
3.500000000 |
9 |
|
216 |
2.666666667 |
|
284 |
3.506172840 |
10 |
|
276 |
2.760000000 |
|
344 |
3.440000000 |
100 |
|
31016 |
3.101600000 |
|
31796 |
3.179600000 |
1000 |
|
3137548 |
3.137548000 |
|
3145520 |
3.145520000 |
10000 |
|
314119052 |
3.141190520 |
|
314199016 |
3.141990160 |
Tabelle 2: Innen- und Au§ensumme
Da der Kreis keine pathologische Kurve ist, dŸrfen wir ruhig nach dem ersten Verfahren mit den Karomittelpunkten arbeiten.
Nachdem sich die FlŠchenbestimmung mit den Karos recht bewŠhrt hat, kšnnte man in Versuchung geraten, dieselben Karofiguren fŸr die Bestimmung des Kreisumfanges zu verwenden.
Wir zŠhlen dazu die Umfangstrecken bei den Abbildungen 1.1 bis 1.3 und berechnen das VerhŠltnis zum Kreisdurchmesser (Tab. 3).
Radius |
Umfang |
Approx. ¹ |
1 |
8 |
4. |
2 |
16 |
4. |
3 |
24 |
4. |
4 |
32 |
4. |
5 |
40 |
4. |
6 |
48 |
4. |
7 |
56 |
4. |
8 |
64 |
4. |
9 |
72 |
4. |
10 |
80 |
4. |
100 |
800 |
4. |
1000 |
8000 |
4. |
10000 |
80000 |
4. |
Tab. 3: Falsche Umfangberechnung
Da ist etwas schief gelaufen, oder vielmehr waagerecht und senkrecht statt schrŠg. Das erklŠrt auch den Fehler.
Wir erhalten viermal die QuerschnittslŠnge (Durchmesser) als Umfang statt nur ¹-mal. Das ist die Sicht von links, rechts, oben und unten.
Wir arbeiten mit EinheitswŸrfeln. Die Abbildung 3.1 zeigt die Situation fŸr den Radius 10. Das Kriterium fŸr die Aktivierung eines WŸrfelchens ist die Position seines Mittelpunktes.
Abb. 3.1: Kugel im WŸrfelraster
In der Abbildung 3.2 sind die WŸrfel im Sinne eines dreidimensionalen ãSchachbrettesÒ mit verschiedenen Farben eingetragen. WŸrfel mit gemeinsamer SeitenflŠche haben unterschiedliche Farben. WŸrfel mit gemeinsamer Kante haben gleiche Farben. WŸrfel mit gemeinsamer Ecke haben unterschiedliche Farben.
Abb. 3.2: Kugel im dreidimensionalen Schachbrett
In der Abbildung 4 ist die Kugel weggelassen worden. Wer Lust hat, kann das mit WŸrfelchen nachbauen. Wir brauchen dazu 4224 WŸrfelchen (Tab. 4)
Abb. 4.1: Nur WŸrfelchen
Abb. 4.2: Im dreidimensionalen Schachbrett
Die Abbildung 4.3 zeigt eine Kugel mit dem Radius 30 im dreidimensionalen Schachbrett approximiert.
Abb. 4.3: Kugel mit Radius 30
Nun gehtÕs wieder ans AuszŠhlen (Tab. 4). Das ZŠhlkriterium ist die Position des jeweiligen WŸrfelmittelpunktes.
Radius |
Anzahl WŸrfelchen |
Quotient |
1 |
8 |
8. |
2 |
32 |
4. |
3 |
136 |
5.037037037 |
4 |
280 |
4.375000000 |
5 |
552 |
4.416000000 |
6 |
912 |
4.222222222 |
7 |
1472 |
4.291545190 |
8 |
2176 |
4.250000000 |
9 |
3112 |
4.268861454 |
10 |
4224 |
4.224000000 |
100 |
4188896 |
4.188896000 |
1000 |
4188806000 |
4.188806000 |
Tab. 4: Anzahl WŸrfelchen
Wenn wir die Anzahl der WŸrfelchen durch die dritte Potenz des Radius dividieren, approximieren wir den Wert . Unsere ausgezŠhlten Werte sind fast alle etwas zu hoch.
Wiederum falsch ist es, die OberflŠche des Polyeders der Abbildung 4 mit der KugeloberflŠche gleichzusetzen. Das Polyeder der Abbildung 4 hat als OberflŠche sechsmal die Werte der Tabelle 1. Wir sehen von vorne, hinten, links, rechts, unten und oben je den Kreis im Karoraster. Diese falsche Methode liefert also sechsmal die QuerschnittsflŠche der Kugel als deren OberflŠche. Die richtige KugeloberflŠche ist nur viermal die QuerschnittsflŠche.
FŸr das nd-Volumen funktioniert die AuszŠhlmethode. FŸr die HyperoberflŠche wird sie falsch.
Die Tabelle 5 gibt die Anzahlen fŸr die Dimension 4. Der Quotient mit der vierten Potenz des Radius sollte ergeben (man beachte das Quadrat beim ¹).
Radius |
Anzahl
HyperwŸrfelchen |
Quotient |
1 |
16 |
16. |
2 |
80 |
5. |
3 |
512 |
6.320987654 |
4 |
1312 |
5.125000000 |
5 |
3312 |
5.299200000 |
6 |
6480 |
5. |
7 |
12288 |
5.117867555 |
8 |
20352 |
4.968750000 |
9 |
33392 |
5.089468069 |
10 |
49648 |
4.964800000 |
11 |
73408 |
5.013865173 |
12 |
102176 |
4.927469136 |
13 |
142256 |
4.980777984 |
14 |
190544 |
4.960016660 |
15 |
253088 |
4.999269136 |
16 |
324448 |
4.950683594 |
17 |
414768 |
4.966032495 |
18 |
517776 |
4.932327389 |
19 |
645888 |
4.956131399 |
20 |
790400 |
4.940000000 |
Tab. 5: Anzahl HyperwŸrfelchen
Im vierdimensionalen Fall gibt es HyperwŸrfelmittelpunkte die exakt auf der HypersphŠre liegen. So ist etwa:
(1)
Websites
Hans Walser: Unmšgliche pythagoreische Dreiecke (17. 09. 2016):
www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/U/Unmoegl_pyth_Dreiecke/Unmoegl_pyth_Dreiecke.htm