Hans Walser, [20230528]
Würfelschnitte
1 Worum geht es?
Schnittfiguren im Würfel. Invariante Flächensumme
2 Würfel und Diagonale
Die Abbildung 1 zeigt einen Würfel mit einer Raumdiagonalen. Für rechnerische Zwecke nehmen wir beim Würfel die Kantenlänge 1 an.
Abb. 1: Würfel mit Raumdiagonale
3 Schnittebene
Nun lassen wir eine zur Raumdiagonalen orthogonale Ebene mit gleichmäßiger Geschwindigkeit durchfahren und schneiden die Ebene mit dem Würfel (Abb. 2).
Abb. 2: Schnittebene
Die Abbildung 4 zeigt die frontale Sicht (Aufriss).
Abb. 3: Frontale Sicht
Die Abbildung 4 zeigt die Sicht über die Ecke. Wir schauen parallel zur Raumdiagonalen. In dieser Sicht erscheinen die Schnittfiguren in wirklicher Form und Größe.
Abb. 4: Sicht über die Ecke
Die Schnittfigur ist zunächst ein gleichseitiges Dreieck. Der Flächeninhalt ist beschleunigt wachsend, und zwar quadratisch zur Durchlaufzeit. Nach dem Erreichen der ersten Würfelecken wird die Schnittfigur zu einem gleichwinkligen, aber nicht gleichseitigen Sechseck. Der Flächeninhalt ist gebremst wachsend bis zum Erreichen des Maximums. Im Maximum sind die Sechseckecken Mittelpunkt von Würfelkanten, das Sechseck ist regelmäßig. Ab dann nimmt der Flächeninhalt symmetrisch zum Wachstum ab. Nach Erreichen der zweiten Würfelecken wird die Schnittfigur wieder zu einem gleichseitigen Dreieck.
4 Flächeninhalt
Die Abbildung 5 gibt den Flächeninhalt in Abhängigkeit des Durchlaufs durch die Raumdiagonale. Der Funktionsgraf ist aus quadratischen Parabelbögen zusammengesetzt.
Abb. 5: Flächeninhalt
Die Figur erinnert an die Gaußsche Glockenkurve, ist es aber nicht.
5 Drei Schnittebenen
Wir fügen zwei weitere Schnittebenen ein (Abb. 6). Der Abstand zwischen den parallelen Schnittebenen ist ein Drittel der Raumdiagonalen.
Abb. 6: Drei parallele Schnittebenen
Die Abbildungen 7 bis 9 zeigen die Situation von vorne, von oben und von der Seite.
Abb. 7: Frontale Sicht
Abb. 8: Sicht von oben
Abb. 9: Sicht von der Seite
In allen drei Sichten ist jeweils die ganze Quadratfläche zugedeckt. Es hat aber keine Überlappungen.
Die Abbildung 10 zeigt die Sicht über die Raumdiagonale.
Abb. 10: Sicht über die Ecke
Die Flächeninhalte sind phasenverschoben (Abb. 11). Ihre Gesamtsumme ist aber konstant √3. Wir haben eine Invarianz der Flächensummen.
Abb. 11: Flächeninhalte
Die Abbildung12 zeigt vier Periodenlängen. Ein Ornament.
Abb. 12: Ornament
Die Figur erinnert an Wechselstrom und DNA-Spirale. Beides falsch.
Weblinks
Hans Walser: Würfelschnitte
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelschnitte/Wuerfelschnitte.html