Hans Walser, [20230517]

Würfelschnitte

1 Worum geht es?

Orthogonalschnitte zu einer Würfeldiagonalen. Spezielle Sichten. Invariante Flächensumme.

2 Würfel und Diagonale

In ein Kantenmodell eines Würfels tragen wir eine Raumdiagonale ein (Abb. 1).

Abb. 1: Würfel mit Raumdiagonale

3 Orthogonale Schnitte

Nun schneiden wir den Würfel mit Ebenen, welche zur Raumdiagonale senkrecht stehen. Die Ebenen haben untereinander gleiche Abstände, nämlich einen Drittel der Länge der Raumdiagonale (Abb. 2).

Abb. 2: Schnitt mit orthogonalen Ebenen

Im allgemeinen Fall erhalten wir zwei verschieden große gleichseitige Dreiecke und ein gleichwinkliges Sechseck mit alternierenden Seitenlängen.

Es gibt zwei Sonderfälle.

3.1 Sonderfall regelmäßiges Sechseck

Im Sonderfall der Abbildung 3 haben wir zwei kongruente gleichseitige Dreiecke und ein regelmäßiges Sechseck. Die beiden Dreiecke und das Sechseck haben dieselbe Seitenlänge.

Abb. 3: Sonderfall

Das regelmäßige Sechseck wird bei der Sicht in Richtung der Raumdiagonale in wahrer Größe sichtbar (Abb. 4). Es ist zur Unterscheidbarkeit vom oberen Dreieck etwas dunkler gezeichnet.

Abb. 4: Regelmäßiges Sechseck

3.2 Sonderfall ohne Sechseck

Wird die Raumdiagonale gedrittelt, haben wir nur zwei gleich große gleichseitige Dreiecke (Abb. 5).

Abb. 5: Sonderfall ohne Sechseck

Beim Blick in Richtung der Raumdiagonale sehen wir einen Davidstern (Abb. 6).

Abb. 6: Davidstern

3.3 Verschieben der Schnittebenen

Wir verschieben die Schnittebenen unter Beibehaltung der Abstände (Abb. 7). Dabei sehen wir wieder die Sonderfälle.

Abb. 7: Verschieben der Schnittebenen

4 Invariante Flächensumme

Die Flächensumme der drei roten Flächen, also der beiden Dreiecke und des Sechseckes, bleibt beim Verschieben invariant. Dies kann eingesehen werden, indem wir drei unserer Würfel aufeinanderstapeln (Abb. 8).

Abb. 8: Aufeinanderstapeln von drei Würfeln

Das Dreieck rechts unten wird an die Oberkante des Sechseckes angesetzt, das Dreieck links oben an die Unterkante. So entsteht ein invarianter Rhombus. Im Sonderfall (entsprechend der Abbildung 5) setzt sich der Rhombus aus zwei gleichseitigen Dreiecken zusammen, welche eine Seitendiagonale des Würfels als Seitenlängen haben.

5 Separation

Wir können parallele Kanten des Sechseckes und der beiden Dreiecke zu Rechtecken ergänzen (grün in Abb. 9). Diese stehen senkrecht auf der Grundfläche des Würfels. Sie zerschneiden den Würfel in drei Teile. In den beiden äußeren Teilen befinden sich die Dreiecke, im mittleren das Sechseck.

Abb. 9: Senkrechte Rechtecke

Wenn wir den Würfel genau von oben angucken, sehen wir nur rot (Abb. 10). Mit etwas Phantasie können wir die beiden Dreiecke und das Sechseck erkennen.

Abb. 10: Sicht von oben

In der Abbildung 11 ist das Sechseck etwas dunkler gefärbt, damit die drei roten Figuren besser unterscheidbar sind. Da die beiden gleichseitigen Dreiecke schräg zur Blickrichtung liegen, wird ihre Form verzerrt. Sie erscheinen als rechtwinklig gleichschenklige Dreiecke.

Abb. 11: Dunkelrotes Sechseck

Die roten Figuren überlappen sich nicht, da sie durch die grünen Rechtecke separiert sind.

In der Abbildung 12 sind nun grüne Rechtecke rechtwinklig zur Vorderfront eingezeichnet.

Abb. 12: Rechtecke rechtwinklig zur Vorderfront

Damit lässt sich erklären, dass wir auch bei der Sicht frontal von vorne nur rot sehen (Abb. 13).

Abb. 13: Sicht von vorne

Auch bei der Sicht genau von rechts sehen wir nur rot (Abb. 14). Man beachte die komplementäre Sichtbarkeit der Raumdiagonalen in den Sichten von vorne (Abb. 13) und von rechts (Abb. 14).

Abb. 14: Sicht von rechts