Hans Walser, [20220825]
Würfel auf Plattkarte
Der Würfel wird vom Mittelpunkt aus auf die Umkugel projiziert und die sphärische Figur im Sinne der Plattkarte (Abb. 1) abgebildet.
Abb. 1: Plattkarte der Erde
Es entstehen schöne Bildchen.
Wir arbeiten zunächst mit einem auf einem
Seitenquadrat stehenden Würfel (Abb. 2a).
Abb. 2a: Würfel
Die Abbildung 2b zeigt die Projektion dieses
Würfels auf seine Umkugel.
Abb. 2b: Projektion auf Umkugel
Auf der Kugel ergeben sich Großkreisbögen (Abb. 3).
Abb. 3: Großkreisbögen
Die Abbildung 4 zeigt das Bild auf der Plattkarte.
Abb. 4: Auf der Plattkarte
Wir können zusätzlich die Diagonalen einzeichnen (Abb. 5 und 6). Die Kanten und die Diagonalen ergänzen sich zu durchgehenden Großkreisen.
Abb. 5: Diagonalen
Abb. 6: Diagonalen auf der Plattkarte
Wenn wir die Bilder der Würfelkanten herausnehmen, bleibt ein sphärisches Rhombendodekaeder übrig (Abb. 7 und 8).
Abb. 7: Sphärisches Rhombendodekaeder
Abb. 8: Rhombendodekaeder auf der Plattkarte
In der Abbildung 9 wird von einem auf einer Ecke stehenden Würfel ausgegangen. Eine Ecke ist also im Nordpol, die gegenüberliegende Ecke im Südpol.
Abb. 9: Auf einer Ecke stehender Würfel
Auf der Plattkarte erscheinen die beiden Pole als Strecken (Abb. 10).
Die in Süd-Nord-Richtung verlaufenden Bögen erscheinen als Strecken.
Die anderen Bögen erscheinen leicht gekrümmt mit einem Wendepunkt in der Mitte, was man bei genauem Hinsehen feststellen kann.
Abb. 10: Auf der Plattkarte
Wir können zusätzlich die Diagonalen einzeichnen (Abb. 11 und 12). Die Kanten und die Diagonalen ergänzen sich zu durchgehenden Großkreisen.
Abb. 11: Diagonalen
Abb. 12: Diagonalen auf Plattkarte
Wenn wir die Bilder der Würfelkanten herausnehmen, bleibt ein sphärisches Rhombendodekaeder übrig (Abb. 13 bis 15).
Abb. 13: Rhombendodekaeder
Die sphärischen Rhombendodekaeder haben aus Symmetriegründen zwei rechte Winkel und zwei Winkel von 120°, wie die Sicht von oben (Abb. 14) zeigt.
Abb. 14: Sicht von oben
Abb. 15: Rhombendodekaeder auf Plattkarte
Die wellenartigen rot-grünen Kurven in den Abbildungen 6 und 12 sind keine Sinus- oder Kosinuskurven. Mit der geografischen Breite φ und der geografischen Länge λ haben sie die Funktionsgleichung:
φ = arctan(tan(α)sin(λ – β))
Dabei sind α der Schnittwinkel mit dem Äquator (und damit auch die Amplitude in der geografischen Breite) und β die Phasenverschiebung.
Weblinks
Hans Walser: Sphärische platonische Körper
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/S/Sphaer_platon_Koerper/Sphaer_platon_Koerper.html
Hans Walser: Würfelwelt
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Wuerfelwelt/Wuerfelwelt.html