Hans Walser, [20160410]

Simplex

1     Worum geht es?

Ein Simplex oder n-Simplex ist das n-dimensionale Analogon zu Strecke, Dreieck, Tetraeder, ... .

Wir setzen die KantenlŠnge 1 voraus (regelmŠ§iges Simplex) und berechnen die Hšhe  und das n-d-Volumen  sowie weiteres.

Die Abbildung 1 zeigt ein regelmŠ§iges Tetraeder.

Abb. 1: RegelmŠ§iges Tetraeder

2     Hšhe

Aus der Schule bekannt:

 

                                                              (1)

 

 

 

Es gilt die Rekursion:

 

                                                                                 (2)

 

Explizite Formel:

 

                                                                                                                       (3)

 

Beweis induktiv: Wegen (1) ok fŸr n = 1. Induktionsschritt:

 

                                             (4)

 

 

Grenzwert: Es ist:

 

                                                                                                   (5)

 

Die Hšhen haben eine untere Schranke.

 

3     Volumen

Aus der Schule bekannt:

 

                                                               (6)

 

 

 

Rekursion (Verwendung von (3)):

 

                                                                                       (7)

 

Explizite Formel:

 

                                                                                                         (8)

 

Beweis induktiv: Wegen (6) ok fŸr n = 1. Induktionsschritt:

 

                                       (9)

 

Grenzwert: Es ist:

 

                                                                                 (10)

 

Das Volumen verschwindet sehr rasch (Tab. 1).

 

n

1

1

2

0.4330127020

3

0.1178511302

4

0.02329237477

5

0.003608439184

6

0.0004593318248

7

0.00004960317460

8

0.000004650297621

Tab. 1: Das Volumen verschwindet

4     Bauteile

Wir erstellen eine Tabelle (Tab. 2) Ÿber die Anzahl der Eckpunkte, der Kanten, der Dreiecke, der Tetraeder, allgemein der niedrigerdimensionalen ãSeitenelementeÒ des n-Simplexes.

In der Kopfzeile die Dimension  der Bauteile, in der linken Spalte die Dimension n des Simplex. Den Punkt bezeichnen wir als 0-Simplex. Den n-Simplex zŠhlen wir bei seiner eigenen Dimension einmal mit.

 

n\k

0

1

2

3

4

5

0

1

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

2

3

3

1

 

 

 

3

4

6

4

1

 

 

4

5

10

10

5

1

 

5

6

15

20

15

6

1

 

Tab. 2: Bauteile

Wir erkennen das Pascal-Dreieck der Binomialkoeffizienten, wobei die Spalte ganz links fehlt.

Zum VerstŠndnis stellen wir uns den †bergang von einer Dimension in die nŠchste vor: Es kommt ein zusŠtzlicher Eckpunkt ins Spiel, der mit allen bisherigen Bauteilen verbunden wird. Zu den schon vorhandenen Dreiecken zum Beispiel kommen zusŠtzlich alle Dreiecke, die mit dem neuen Eckpunkt und den bisherigen Kanten gebildet werden kšnnen. Mit dieser †berlegung ergibt sich die Ÿbliche Rekursion fŸr das Pascal-Dreieck.

Man beachte den Versatz bei der Indizierung: Das n-Simplex hat  Eckpunkte.

5     Gesamte KantenlŠnge

Das n-Simplex hat  Kanten der LŠnge eins. Die Anzahl ist also auch die gesamte KantenlŠnge. Die KantenlŠnge divergiert fŸr .

6     Gesamte HyperoberflŠche

Das n–Simplex hat n + 1 Simplexe der Dimension n – 1 als HyperoberflŠchenelemente. FŸr die gesamte HyperoberflŠche erhalten wir daher:

 

                                             (11)

 

Wir erhalten fŸr  den Grenzwert null (Tab. 3).

 

n

HyperoberflŠche

1

2

2

3

3

1.732050808

4

0.5892556510

5

0.1397542486

6

0.02525907427

7

0.003674654599

8

0.0004464285713

9

0.00004650297621

10

0.000004236377687

Tab. 3: HyperoberflŠche

Obwohl die KantenlŠnge divergiert, gehen Volumen und HyperoberflŠche gegen null. Eine recht spie§ige Sache.

7     Gesamte 2-d-FlŠche

Das n-Simplex hat  gleichseitige Dreiecke mit dem FlŠcheninhalt . Die gesamte 2-d-FlŠche divergiert also.

Analog kann gezeigt werden, dass bei festem k das gesamte k-dim-Hypervolumen divergiert.

Wenn wir also in der Tabelle 2 senkrecht nach unten gehen, divergiert es.

8     Gesamte n–2-dim HyperflŠche

Das n-Simplex hat  Bauelemente der Dimension n – 2. FŸr die Summe deren Hypervolumina erhalten wir:

 

                                                                     (12)

 

Auch dies geht gegen null (Tab. 4, Lesebeispiele: Das Dreieck (n = 2) hat drei Ecken. Das Tetraeder (n = 3) hat die gesamte KantenlŠnge 6. Die gleichseitigen Dreiecke im 4-Simplex haben die GesamtflŠche 4.330127020):

 

n

n–2-Unterhypervolumina

2

3

3

6

4

4.330127020

5

1.767766953

6

0.4891398700

7

0.1010362971

8

0.01653594569

9

0.002232142857

10

0.0002557663690

Tab. 4: Unterdach

Allgemein ist es so, dass wir bei SchrŠgen parallel zur rechten Kante des Pascal-Dreiecks den Grenzwert null erhalten. Schuld sind die FakultŠten im Nenner. Dagegen ist kein Kraut gewachsen.