Hans Walser, [20140726], [20140810]

Verallgemeinerung des Satzes von Pythagoras

Hinweis: H. Sch., W.

1     Im Raum

1.1    Analogon zum rechtwinkligen Dreieck

Wir ersetzen den zweidimensionalen rechten Winkel durch eine Raumecke, wie sie bei Quadern und insbesondere WŸrfeln erscheinen. Und nun schneiden wir eine solche Ecke schrŠg ab. Es entsteht ein unregelmŠ§iges Tetraeder  (Abb. 1). Dabei stehen die drei Kanten ,  und  paarweise orthogonal aufeinander. Der Punkt C liegt in der rechten Raumecke.

 

Abb. 1: Analogon zum rechtwinkligen Dreieck

 

Drei der vier SeitenflŠchen des Tetraeders sind rechtwinklige Dreiecke. Diese drei SeitenflŠchen Ÿbernehmen die Rollen der Katheten (Abb. 2). Sie liegen den drei Ecken ,  und  gegenŸber.

 

Abb. 2: KathetenflŠchen

 

Die vierte SeitenflŠche, ein spitzwinkliges Dreieck, Ÿbernimmt die Rolle der Hypotenuse (Abb. 3). Sie liegt der Ecke C gegenŸber.

 

Abb. 3: HypotenusenflŠche

 

1.2    Analogon zum Satz des Pythagoras

Es gilt das Theorem:

In einem Tetraeder mit drei rechten Winkeln an einer Ecke ist die Summe der Quadrate der KathetenflŠcheninhalte gleich dem Quadrat des HypotenusenflŠcheninhaltes.

Durch das Quadrieren der FlŠcheninhalte entstehen Gebilde im vierdimensionalen Raum. Wir kšnnen also nicht wie beim Satz des Pythagoras in der Ebene das Theorem mit angesetzten geometrischen Quadraten illustrieren.

1.3    Beispiel

Im einfachsten Beispiel haben die drei von C ausgehenden Tetraederkanten die LŠnge 1. Die drei Ÿbrigen Kanten haben dann die LŠnge .

Die drei KathetenflŠchen sind je .

Die HypotenusenflŠche ist .

Es ist:

 

1.4    Beweis des Theorems

Wir verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 4 und passen die Figur in ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Ursprung in C ein.

 

Abb. 4: Bezeichnungen. Kartesisches Koordinatensystem

 

FŸr die KathetenflŠchen  erhalten wir der Reihe nach:

 

Somit ist:

 

FŸr die Berechnung der HypotenusenflŠche verfahren wir wie folgt: Die Ebene durch die drei Punkte ,  und  hat die Gleichung:

 

Diese Gleichung formen wir zur Hesseschen Normalform um:

 

 

Damit hat C den Abstand

  

 

von der Ebene. Das ist aber auch die Hšhe des Tetraeders bezogen auf die HypotenusenflŠche H.

Das Tetraeder hat das Volumen:

 

Andererseits ist:

 

Vergleich ergibt fŸr die HypotenusenflŠche H:

 

 

 

Somit ist:

 

1.5    Frage der Umkehrung

In der ebenen Geometrie gilt der Satz des Pythagoras in beiden Richtungen:

 

Unser rŠumliches Analogon gilt nur in einer Richtung:

 

Im Folgenden ein Gegenbeispiel fŸr die UngŸltigkeit der Umkehrung.

Es sei zunŠchst , ,  und .

Dann ist  und . Wir haben bei C drei rechte Winkel und es ist .

Zwischenbemerkung: FŸr den Raumwinkel (Analogon zum Bogenma§) erhalten wir

Nun Šndern wir den Punkt C ab in:

 

Dadurch ist die OrthogonalitŠt an der Ecke  zerstšrt.

Zwischenbemerkung: FŸr den Raumwinkel (Analogon zum Bogenma§) erhalten wir 0.540689809.

Die HypotenusenflŠche H bleibt unverŠndert. FŸr die KathetenflŠchen erhalten wir:

 

Die Bedingung  ist also nach wie vor erfŸllt, trotz fehlender OrthogonalitŠt.

2     Im vierdimensionalen Raum

Das Theorem lŠsst sich in hšhere Dimensionen verallgemeinern.

Wir arbeiten im  mit der konvexen HŸlle der fŸnf Punkte . , ,  und . Dies ist ein 4-Simplex.

Die vier Kathetentetraeder entstehen als konvexe HŸlle von C und drei der vier Punkte . Sie haben der Reihe nach die Volumina:

 

Das Hypotenusentetraeder ist die konvexe HŸlle der vier Punkte .

Die Hyperebene durch die vier Punkte  hat die Gleichung:

 

FŸr den Abstand des Ursprungs C von dieser Hyperebene erhalten wir:

 

Nun gilt fŸr das 4d-Volumen des 4-Simplexes einerseits:

 

Andererseits ist:

 

Vergleich ergibt:

 

Daraus folgt:

 

3     Allgemein

FŸr den n-dimensionalen Fall ist das jetzt nur noch eine langweilige SchreibŸbung.

Wir arbeiten im  mit der konvexen HŸlle der  Punkte , , , ... , . Dies ist ein n-Simplex.

Die n Katheten-(n–1)-Simplexe sind die konvexen HŸllen von C und  der n Punkte . Sie haben die (n–1)-d-Volumina :

 

Das Hypotenusen-(n–1)-Simplex ist die konvexe HŸlle der n Punkte .

Die Hyperebene durch die n Punkte  hat vom Ursprung C den Abstand:

 

 

FŸr das n-d-Volumen des n-Simplexes erhalten wir einerseits:

 

Andererseits ist:

 

 

Vergleich ergibt:

 

 

Daraus folgt:

 

4     RegelmŠ§ige Simplexe

Wenn wir im  sŠmtliche  wŠhlen, erhalten wir ein regelmŠ§iges Hypotenusen-n-Simplex der KantenlŠnge 1.

Sein n-d-Volumen H kann nun mit dem verallgemeinerten Theorem des Pythagoras berechnet werden.

ZunŠchst ist . Somit ist:

 

 

Die Tabelle 1 zeigt einige Resultate.

n

H

 

1

1

Strecke

2

Gleichseitiges Dreieck

3

RegelmŠ§iges Tetraeder

4

 

5

 

6

 

7

rational

8

rational

9

 

10

 

Tab. 1: Volumina regelmŠ§iger n-Simplexe

Die n-d-Volumina der n-Simplexe tendieren gegen null.