Hans Walser, [20220718]

Rhombenhexaeder

1 Worum geht es?

Hexaeder mit sechs kongruenten Rhomben als Seitenflächen.

Formeln. Abwicklungen

2 Würfel

Der Würfel (Abb. 1 und 2) ist das einfachste Rhombenhexaeder.

Abb. 1: Würfel, auf einer Ecke stehend

Die Abbildung 2 ist echt. Wer es nicht glaubt, kann selber mit einiger Sorgfalt einen Spielwürfel mit einer Ecke auf eine horizontale Unterlage legen.

Abb. 2: Spielwürfel, auf einer abgerundeten Ecke stehend

3 Allgemeines Hexaeder

Wir können den Würfel an zwei diametralen Ecken (unterste und oberste Ecke) auseinanderziehen oder zusammendrücken (Abb. 3). So entstehen allgemeine Rhombenhexaeder.

Abb. 3: Rhombenhexaeder

Die Rhombenwinkel an der untersten Ecke variieren von 0° bis 120°. Dieser Winkel wird im Folgenden mit w bezeichnet und dient als Parameter für die Rhombenhexaeder. Die Kantenlängen setzen wir 1.

4 Zweierlei Rhombenhexaeder

Sechs kongruente Rhomben (mit einem spitzen Winkel > 60° können auf zwei verschiedene Arten zu einem Rhombenhexaeder zusammengefügt werden. Wir illustrieren diesen Sachverhalt an einem Beispiel. In der Abbildung 4a haben die drei Rhomben an der untersten Ecke Winkel von w = 70°. Die stumpfen Winkel dieser Rhomben messen also 110°. In der Abbildung 4b messen die Winkel an der untersten Ecke w = 110°. Somit sind die Rhomben (bei gleicher Kantenlänge 1) der beiden Rhombenhexaeder kongruent.

Die Rhombenhexaeder sind aber nicht kongruent. Im Beispiel der Abbildung 4a haben wir zwei diametrale Ecken (unten und oben) mit je drei spitzen Rhombenwinkeln, und sechs weitere Ecken mit je einem spitzen und zwei stumpfen Rhombenwinkeln. Im Beispiel der Abbildung 4b ist es umgekehrt. Wir bezeichnen im Folgenden Beispiele der Abbildung 4a als spitze Rhombenhexaeder und Beispiele der Abbildung 4b entsprechend als stumpfe Rhombenhexaeder.

Das spitze Rhombenhexaeder existiert für beliebig kleine spitze Winkel der Seitenrhomben. Beim stumpfen Rhombenhexaeder muss der stumpfe Winkel kleiner als 120° sein, der spitze Winkel also größer als 60°. Der Grenzfall eines stumpfen Rhombenhexaeders mit einem untersten Winkel 120° ist ein flaches ebenes regelmäßiges Sechseck.

Abb. 4: Spitzes und stumpfes Rhombenhexaeder mit kongruenten Seitenrhomben

Die Abbildung 5 zeigt das spitze und das stumpfe Rhombenhexaeder mit w = 70° beziehungsweise w = 110° als Papiermodell. Das spitze Rhombenhexaeder ist höher und hat daher bei gleicher Grundfläche das größere Volumen.

Abb. 5: Spitzes und stumpfes Rhombenhexaeder

Die Modelle der Abbildung 5 sind als Flechtmodelle gebaut. Interessanterweise können beide Modelle mit denselben drei kongruenten Streifen (Abb. 6) geflochten werden.

Abb. 6: Die drei Streifen

5 Volumen

Für das Volumen V(w) in Abhängigkeit des untersten Winkels w und mit der Kantenlänge 1 finden wir nach einiger Rechnung:

Tabelle 1 und Abbildung 7 zeigen entsprechende Daten.

w	Volumen	Bemerkungen
0°	0	Strecke
10°	0.0261801496
20°	0.1023340925
30°	0.2214454910
40°	0.3722826858
50°	0.5400379424
60°	0.7071067810	Oktaeder mit zwei diametral angesetzten Tetreaedern. √(½)
70°	0.8538642625	Spitzes Rhombenhexaeder der Abb. 4 und 5
80°	0.9591721420
90°	1	Würfel
100°	0.9481912596
110°	0.7543534670	Stumpfes Rhombenhexaeder der Abb. 4 und 5
120°	0	Plattes regelmäßiges Sechseck

Tab. 1: Volumina

Abb. 7: Volumina

Das spitze Rhombenhexaeder mit einem unteren Winkel w = 70° hat ein größeres Volumen als das stumpfe Rhombenhexaeder mit einem unteren Winkel w = 110°.

6 Abwicklungen

6.1 Würfel-Abwicklungen

Erinnerung: Es gibt (bis auf Symmetrien) elf Würfel-Abwicklungen (Abb. 8).

Abb. 8: Elf Würfel-Abwicklungen

6.2 Rhombenhexaeder

Ein Rhombus kann als affin verzerrte Quadrat gesehen werden. Leider können wir jetzt aber nicht einfach die Würfel-Abwicklungen affin verzerren, um so eine Rhombenhexaeder-Abwicklung zu erhalten. Wenn wir etwa das erste Beispiel der Würfel-Abwicklungen (Abb. 8) affin verzerren (Abb. 9a), ergeben sich beim Aufwickeln Probleme mit den vier übereinander liegenden Rhomben (Abb. 9b). Beim Aufwickeln entsteht sich eine schraubenförmige Anordnung. Die beiden markierten blauen Kanten sind versetzt und können nicht identifiziert (verheftet) werden.

Abb. 9: Probleme beim Aufwickeln

Wir müssen mit Zickzack-Streifen arbeiten (Abb. 9c bis 9e). Aber auch so kann es noch Probleme geben. Beim Streifen der Abbildung 9e schließen sich zwar die blauen Kanten, aber die Endpunkte der horizontalen Linien liegen nicht in einer Ebene. Die Figur kann nicht zu einem Polyeder abgeschlossen werden. Wir haben zwei Zacken zu viel. Es bleiben für unsere Rhombenhexaeder nur noch Streifen der Abbildungen 9c und 9d.

Weiter ist es so, dass spitze und stumpfe Rhombenhexaeder unterschiedliche Abwicklungen haben.

6.2.1 Spitzes Rhombenhexaeder

Die Abbildung 10 zeigt 22 Abwicklungen des spitzen Rhombenhexaeders. Alle Beispiele wurden erfolgreich durchexerziert, ich bin aber nicht sicher, ob es noch weitere Beispiele gibt.

Abb. 10: Abwicklungen des spitzen Rhombenhexaeders

Nur Beispiel in der untersten Zeile links (Abb. 10) ist ein affines Bild einer Würfelabwicklung.

6.2.2 Stumpfes Rhombenhexaeder

Die Abbildung 11 zeigt 22 Abwicklungen des stumpfen Rhombenhexaeders. Alle Beispiele wurden erfolgreich durchexerziert, ich bin aber nicht sicher, ob es noch weitere Beispiele gibt.

Abb. 11: Abwicklungen des stumpfen Rhombenhexaeders

Nur Beispiel in der untersten Zeile links (Abb. 11) ist ein affines Bild einer Würfelabwicklung.

Wir sehen an etlichen Beispielen (etwa zweite Abwicklung in der obersten Zeile der Abbildung 11), dass der stumpfe Winkel kleiner als 120° sein muss. Bei einem stumpfen Winkel größer als 120° würde die Abwicklung sich selbst überlappen. Bei einem stumpfen Winkel von genau 120° kämen wir nicht vom Boden hoch.

Websites

Hans Walser: Rhombenhexaeder

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rhombenhexaeder/Rhombenhexaeder.htm