Hans Walser, [20220726]
Nicht konvexes Rhombendodekaeder
1 Worum geht es?
Beispiel eines nicht konvexen Rhombendodekaeders mit Selbstdurchdringungen.
2 Das konvexe Rhombendodekaeder
Die Abbildungen 1 bis 3 zeigen das konvexe Rhombendodekaeder. Es ist von zwölf kongruenten Rhomben mit dem spitzen Winkel arccos(⅓) ≈ 70.5288° begrenzt.
Abb. 1: Rhombendodekaeder
Abb. 2: Rotation des Rhombendodekaeders
Das Ecken-Kanten-Gerüst enthält 14 Ecken und 24 Kanten.
Abb. 3: Ecken-Kanten-Gerüst des Rhombendodekaeders
Das Rhombendodekaeder ist ein Raumfüller. Man kann damit den Raum lückenlos und ohne Überlappungen auffüllen (Abb. 4).
Abb. 4: Rhombendodekaeder als Raumfüller
3 Ein nicht konvexes Rhombendodekaeder
Die Abbildung 5 bis 8 zeigen nun ein nicht konvexes Rhombendodekaeder. Es ist aus den gleichen zwölf kongruenten Rhomben zusammengesetzt wie das konvexe Rhombendodekaeder.
Abb. 5: Nicht konvexes Rhombendodekaeder
Abb. 6: Rotation um senkrechte Achse
Abb. 7: Rotation um waagerechte Achse
Das Ecken-Kanten-Gerüst (Abb. 8) enthält nur noch 13 Ecken. Wohin ist die vierzehnte Ecke verschwunden? — Der Punkt in der Mitte muss doppelt gezählt werden.
Abb. 8: Ecken-Kanten-Gerüst
4 Überschneidung von Rhomben
Wir zeigen exemplarisch, wie es zur Überschneidung von Rhomben kommen kann. Zunächst sehen wir in der Abbildung 9 vier Rhomben im Gerüst des konvexen Rhombendodekaeders. Der rote und der blaue Rhombus haben je eine Kante mit dem gelben und dem violetten Rhombus gemeinsam.
Abb. 9: Vier Rhomben im konvexen Rhombendodekaeder
Nun übertragen wir diese Situation in das nicht konvexe Rhombendodekaeder. Die Abbildung 10 zeigt zunächst entsprechend den gelben und den violetten Rhombus im Gerüst des nicht konvexen Rhombendodekaeders.
Abb. 10: Gelber und violetter Rhombus im Gerüst
In der Abbildung 11 ist nun zusätzlich der rote Rhombus eingepasst. Er hat je eine Kante mit dem gelben und dem violetten Rhombus gemeinsam. Allerdings hat er mit dem gelben Rhombus jetzt eine untere Kante des gelben Rhombus gemeinsam, im Unterschied zum konvexen Rhombendodekaeder (Abb. 9), wo der rote Rhombus eine Kante mit einer oberen Kante des gelben Rhombus gemeinsam hat.
Abb. 11: Zusätzlicher roter Rhombus
Die Abbildung 12 zeigt dasselbe Spielchen mit dem blauen Rhombus
Abb. 12: Zusätzlicher blauer Rhombus
Der rote und der blaue Rhombus überschneiden sich (Abb. 13). Die Schnittlinie ist je eine kurze Diagonale der beiden Rhomben.
Abb. 13: Überschneidung
Die Abbildungen 14 und 15 zeigen alle vier Paare von je zwei verschnittenen Rhomben. (Es fehlen also die äußeren Abdeckrhomben des nicht konvexen Rhombendodekaeders).
Abb. 14: Verschnittene Rhomben
Abb. 15: Verschnittene Rhomben in Rotation
5 Flächenorientierung
Wir denken uns das Modell aus Papier gefertigt, das auf der einen Seite rot und auf der anderen Seite blau ist. An den Kanten werden die Farben von einem Rhombus auf den anschließenden fortgesetzt, wie wenn das Papier dort gefaltet wäre. Die Abbildungen 16 und 17 zeigen, wie der Farbübergang gemeint ist.
Abb. 16: Farbübergang
Abb. 17: Farbübergang in verschiedenen Sichten
Die Abbildung 18 zeigt das vollständige Modell.
Wir können das nichtkonvexe Rhombendodekaeder konsistent mit zwei Farben einfärben. Wir haben also nicht etwa die Situation eines Möbius-Bandes.
Abb. 18a: Zweifarbiges Modell
Abb. 18b: Andere Sicht auf das zweifarbige Modell
6 Papiermodell
Die Abbildung 19 zeigt ein Papiermodell.
Abb. 19: Papiermodell
Das Papiermodell ist allerdings nicht echt. Es wurde nicht mit zweifarbigem Papier, auf der einen Seite rot und auf der anderen blau, gearbeitet, sondern zweilagig mit einer Schicht rotem und einer Schicht blauem Papier. Für die Herstellung wurde mit vier Blättern, zwei roten und zwei blauen, im Format DIN A4 gearbeitet. Diese Blätter wurden nach dem Muster der Abbildungen 20 und 21 gefaltet. In der Abbildung 20 bedeuten unterschiedliche Farben der Faltlinien gegenläufige Faltrichtungen (falten nach oben beziehungsweise nach unten).
Abb. 20: Faltmuster
Die Abbildung zeigt die Situation auf gelbem Papier.
Abb. 21: Faltrichtungen
Der Zusammenbau ist heikel. Am besten übt man zuerst ein verwandtes Beispiel zum Bau eines Würfels. Das dortige Schnittmuster entspricht der linken Hälfte des Musters der Abbildung 20.
Die vier gefalteten Blätter werden nach dem Vorfalten zyklisch gestaffelt aufeinandergelegt, so dass jedes blaue Blatt bezüglich der roten Blätter zur Hälfte oben (außen) und zur Hälfte unten (innen) liegt. Die Abbildung 22 versucht dies anzudeuten.
Abb. 22: Zyklische Staffelung
Schließlich kann das Modell modelliert werden.
7 Ausblick
Weitere nicht konvexe Rhombendodekaeder finden sich hier.
Weblinks
Hans Walser: Bilinksi
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Bilinski/Bilinski.html
Hans Walser:
Cube made from six pyramids
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/C/Cube_pyramids/Cube_pyramids.htm
Hans Walser: Nicht konvexes Rhombendodekaeder
Hans Walser: Rhombentriakontaeder
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rhombentriakontaeder1/Rhombentriakontaeder1.html