Hans Walser, [20220726]

Nicht konvexes Rhombendodekaeder

1 Das Rhombendodekaeder

Die Abbildungen 1 bis 4 zeigen das Rhombendodekaeder. Es ist konvex.

Abb. 1: Rhombendodekaeder

Abb. 2: Rotation des Rhombendodekaeders

Abb. 3: Gerüst aus Ecken und Kanten

Abb. 4: Flechtmodell

Das Rhombendodekaeder ist ein Raumfüller, der Raum kann mit kongruenten Rhombendodekaedern lückenlos und ohne Überlappung aufgefüllt werden (Abb. 5).

Abb. 5: Raumfüller

2 Nicht konvexes Rhombendodekaeder

Nun wird eine Ecke abgebaut (Abb. 6 bis 10). Es entsteht ein nicht konvexes Rhombendodekaeder. Seine Oberfläche besteht aber nach wie vor aus zwölf kongruenten Rhomben. Hingegen ist das Volumen auf drei Viertel reduziert worden.

Abb. 6: Nicht konvexes Rhombendodekaeder

Abb. 7: Rotation um senkrechte Achse

Abb. 8: Rotation um waagerechte Achse

Abb. 9: Gerüst

Die beiden Gerüste (Abb. 3 und 9) haben dieselbe Topologie.

Die Abbildung 10 zeigt ein Flechtmodell.

Abb. 10: Flechtmodell

Die Figur ist immer noch ein Raumfüller. Wir können mehrere Exemplare zu einem Sechskant-Prisma aufstapeln und dann diese Stapel nach dem Bienenwabenmuster anordnen.

Abb. 11: Stapel

3 Noch ein Abbau

Wir bauen nun auch noch die untere Ecke ab (Abb. 12 bis 16). Die Oberfläche besteht immer noch aus 12 kongruenten Rhomben. Das Volumen ist gegenüber dem ursprünglichen Rhombendodekaeder halbiert worden.

Abb. 12: Nicht konvexes Rhombendodekaeder

Abb. 13: Rotation um senkrechte Achse

Abb. 14: Rotation um waagerechte Achse

Im Gerüst (Abb. 15) haben wir nun in der Mitte einen doppelt zu zählenden Punkt.

Abb. 15: Gerüst

Abb. 16: Flechtmodell

Die Figur ist nach wie vor ein Raumfüller. Die Abbildung 17 zeigt das Stapelverfahren.

Abb. 17: Raumfüller

4 Flechtmodelle

Die Flechtmodelle (Abb. 4, 10 und 16) werden aus je vier Streifen geflochten. Jeder Streifen besteht aus acht Rhomben mit einem spitzen Winkel arccos(⅓) ≈ 70.5288°. An sich reichen sechs Rhomben pro Streifen, die beiden äußersten dienen der Überlappung und Verstätung.

Beim Rhombendodekaeder (Abb. 4 und 5) haben alle vier Streifen dieselbe Form (Abb. 18). Die Faltlinien werden alle in derselben Richtung gefaltet.

Abb. 18: Flechtstreifen für das Rhombendodekaeder

Für das nicht konvexe Modell nach dem Abbau einer Ecke (Abb. 10 und 11) benötigen wir einen regelmäßigen Zickzackstreifen und drei unregelmäßige Streifen (Abb. 19). Die orange markierten Faltlinien sind in der Gegenrichtung zu falten.

Abb. 19: Nach dem Abbau einer Ecke

Nach dem Abbau zweier Ecken (Abb.16 und 17) benötigen wir die vier Streifen der Abbildung 20.

Abb. 20: Abbau zweier Ecken

Weblinks

Hans Walser: Bilinksi

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/B/Bilinski/Bilinski.html

Hans Walser: Rhombentriakontaeder

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rhombentriakontaeder1/Rhombentriakontaeder1.html