Hans Walser, [20210522]

Möbiusband und Siebeneck

Idee und Anregung: (Weiss, 2020)

1 Worum geht es?

Ein Möbiusband mit sieben Geodreiecken als Bauteilen führt zum rechtwinklig-gleichschenkligen Siebeneck im Raum.

2 Das Möbiusband

Wir benötigen ein Band aus sieben Geodreiecken, die an den Katheten mit Klebeband beweglich verklebt sind. Für die Praxis ist es sinnvoll, mit acht Geodreiecken (Abb. 1) zu arbeiten, wobei dann das erste und das letzte zu identifizieren sind. „Identifizieren“ heißt hier, dass wir sie aufeinanderlegen und mit großen Büroklammern zusammenheften.

Abb. 1: Band aus Geodreiecken

Durch dieses Identifizieren entsteht ein Möbiusband. Es gibt zwei verschiedene Lösungen (Abb. 2a und 2b).

Abb. 2: Möbiusbänder

Jedes dieser Möbiusbänder ist in Grenzen beweglich. Die Abbildung 3 zeigt den Bewegungsspielraum für das Beispiel der Abbildung 2a. Die Einschränkung kommt daher, dass sich die Geodreiecke nicht durchdringen können.

Abb. 3: Eingeschränkte Beweglichkeit

Es ist nicht möglich, das Beispiel der Abbildung 2a durch eine Bewegung in das Beispiel der Abbildung 2b zu überführen. Die beiden Lösungen sind echt verschieden.

3 Siebeneck

Die zu Scharnieren verklebten Katheten der Geodreiecke bilden ein räumliches Siebeneck. Es ist gleichseitig und rechtwinklig, aber nicht regulär, da die Torsionen (Verdrehungen) der Kanten unterschiedlich sind. Wer gerne bruchrechnet, kann von einer „Zweidrittelregularität“ sprechen.

Es gibt neben dem Geodreieck-Modell weitere Modelle zur Darstellung dieses Siebeneckes. Dabei müssen die Längen und die rechten Winkel invariant bleiben, aber eine Verdrehung der Kanten soll möglich sein.

Die Abbildung 4 zeigt die Abwicklung eines solchen Modells. Die Kanten sind zur leichteren Identifizierung dreistellig dual codiert. Silber heißt null, gelb heißt eins. Wir haben von links nach rechts: 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111.

Abb. 4: Abwicklung des Modelles

Analog zur Abbildung 2 gibt es ebenfalls zwei Lösungen für das geschlossene Siebeneck (Abb. 5). Die Kupplung zwischen den Kanten 001 und 111 ist jeweils rot markiert.

Abb. 5: Zwei Lösungen

4 Beweglichkeit

Die Beweglichkeit ist nun erheblich größer. In der Abbildung 6 sind die Kanten durch Bewegung zyklisch durchgeorgelt. Am unteren Bildrand haben wir der Reihe nach die Kanten 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 und dann wieder 001. Die rote Marke geht für den Beobachter im Uhrzeigersinn rund herum.

Abb. 6: Zyklische Vertauschung

Die Abbildung 7 illustriert den Übergang von der Position der Abbildung 6a in die Position der Abbildung 6b.

Abb. 7: Zyklische Vertauschung

Es ist aber nach wir vor nicht möglich, die beiden Lösungen gemäß Abbildung 5 durch eine Bewegung ineinander überzuführen. Die beiden Lösungen sind echt verschieden.

5 Spiegelbildlichkeit

Hingegen, und das hat den Autor verblüfft, kann die Position der Abbildung 5a beziehungsweise 6a durch eine Bewegung in ihr Spiegelbild übergeführt werden. Die Abbildung 8 zeigt die beiden spiegelbildlichen Positionen.

Abb. 8: Spiegelbildliche Positionen

Die Abbildung 9 illustriert den Spiegelungsvorgang.

Abb. 9: Spiegelung

Literatur

Weiss, Gunter (2020): Modellbau mit dem Geodreieck.  IBDG. Informationsblätter der Geometrie. Heft 2/2020. Jahrgang 39. S. 20-26.

Websites

Hans Walser: Möbiusband

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Moebiusband3/Moebiusband3.htm

Hans Walser: Gleichseitig-rechtwinklige Polygone im Raum
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Gls_rw_Polygone/Gls_rw_Polygone.htm

Hans Walser: Möbiusband
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Moebiusband/Moebiusband.pdf

Hans Walser: Möbiusband
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Moebiusband2/Moebiusband2.htm

Hans Walser: Möbius-Band flechten
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Moebius_Band_fl/Moebius_Band_fl.htm

Hans Walser: Möbiusbänder
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Moebius/Moebius.htm

Hans Walser: Möbiuskörper
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Moebiuskoerper/Moebiuskoerper.htm