Hans Walser, [20080110a]

MšbiusbŠnder

Anregung: E. A. F., B. und [Kroll 2007]

1        Worum es geht

Das Mšbiusband wird so modifiziert, dass es (mit Selbstdurchdringung) in der Einheitskugel liegt.

2        WendelflŠche im Zylinder

WendelflŠche im Zylinder

Die WendelflŠche hat drei ãDoppeltwistsÒ.

3        Zusammenbiegen zum Torus

Wir biegen den Zylinder zum Torus

Die ãverbogeneÒ WendelflŠche hat die Parameterdarstellung:

 

 

 

In unserem Beispiel ist ; das ist der Radius des Kreises in der Torusseele. Weiter ist . Dies sehen wir daran, dass wir drei ãDoppeltwistsÒ haben.

Wir variieren nun die Werte  und .

4        Variationen von

FŸr  ergibt sich ein halber Doppeltwist, also ein einfacher Twist. Das ist das so genannte Mšbius-Band.

Mšbiusband,

Das Mšbiusband ist nicht orientierbar, wie aus dem brutalen Farbwechsel links unten ersichtlich ist.

FŸr  erhalten wir eine orientierbare FlŠche.

Orientierbare FlŠche,

FŸr  ergibt sich wiederum eine nicht orientierbare FlŠche, also ein verallgemeinertes Mšbiusband.

Verallgemeinertes Mšbiusband,

Wie ist es bei ?

, es geht nicht auf

Nach zwei UmgŠngen geht es dann auf. Wir erhalten ein Super-Mšbiusband mit kreuzfšrmigem Querschnitt. Es ist nicht orientierbar.

, mit zwei UmgŠngen


FŸr  braucht es drei UmgŠnge; die FlŠche ist orientierbar. Der Querschnitt der Figur sieht aus wie die drei Mittelpunktsdiagonalen eines regelmŠ§igen Sechseckes.

, mit drei UmgŠngen

Allgemein gilt fŸr eine gekŸrzte rationale Zahl : nach einem Umgang haben wir vor Ort eine Verdrehung im . Falls q ungerade ist, schlie§t sich die FlŠche nach q UmgŠngen und ist orientierbar. Falls q gerade ist, schlie§t sich die Figur nach  UmgŠngen, ist aber nicht orientierbar.

5        In der Kugel

Wir setzen in der Parameterdarstellung ; wir arbeiten also mit:

 

 

 

 

Dann liegt die FlŠche in der Einheitskugel.

FŸr  ergibt sich:

Mšbiusband in der Kugel

Das ãBandÒ ist nicht orientierbar, wie der FŠrbung glauben dŸrfen, welche aus der Parametrisierung der FlŠche hervorgeht. Wenn wir allerdings das Zentrum entfernen, bleibt eine zusammenhŠngende orientierbare FlŠche Ÿbrig. Einen analogen Sachverhalt kennen wir vom gewšhnlichen Mšbiusband, wenn wir es lŠngs der Mittellinie entzweischneiden wollen.

Zentrum entfernt

 

FŸr  mit zwei UmgŠngen erhalten wir:

, zwei UmgŠnge

FŸr  ergibt sich der so genannte vivianische Kegel ([Kroll 2007], S. 16).

, vivianischer Kegel

 

Schlie§lich noch fŸr  und  in je zwei Ansichten.

 

Literatur

[Kroll 2007]               Kroll, Wolfgang: RŠumliche Kurven und FlŠchen in phŠnomenologischer Behandlung. © 2007 by Wolfgang Kroll, Marburg. ISBN 978-3-00-021836-1
http://www.sciface.com/education/data/more/krollkuf/index.html