Hans Walser, [20160915]

Kreisausschšpfung

Anregung: Chr. H., O.

1     Worum geht es?

Es werden falsche und richtige Methoden der Kreis- und Kugelberechnung besprochen.

2     Kreis

2.1    KreisflŠche

Ein altgedienter Trick zur approximativen Bestimmung der KreisflŠche besteht darin einen Kreis auf Karopapier zu zeichnen und die Karos auszuzŠhlen.

Die Abbildung 1.1 zeigt die Situation fŸr 1, 2 und 3 KarolŠngen als Radius.

Abb. 1.1: Radien 1, 2, 3

Wir zŠhlen jeweils diejenigen Quadrate, deren Mittelpunkt innerhalb des Kreises liegen. Dabei stellt sich die Frage nach den Mittelpunkten, die genau auf dem Kreis liegen. Hier kann Entwarnung gegeben werden: Dieser Fall kann nicht vorkommen. Mathematisch: Es gibt keinen Punkt mit zwei echt halbzahligen Koordinaten, der vom Ursprung einen ganzzahligen Abstand hat (Walser 2016).

In der Abbildung 1.2 haben wir die Radien 4 und 5.

Abb. 1.2: Radien 4 und 5

In der Abbildung 1.3 haben wir den Radius 10.

Abb. 1.3: Radius 10

Die Tabelle 1 zeigt die Resultate des AuszŠhlens.

Um die Kreiszahl ¹ approximativ zu bestimmen, mŸssen wir die Anzahl der Karos durch das Quadrat des Radius dividieren.

 

Radius

Anzahl Karos

Approx. ¹

1

4

4.

2

12

3.

3

32

3.555555556

4

52

3.250000000

5

80

3.200000000

6

112

3.111111111

7

156

3.183673469

8

208

3.250000000

9

256

3.160493827

10

316

3.160000000

100

31428

3.142800000

1000

3141676

3.141676000

10000

314159388

3.141593880

Tab. 1: Approximation der Kreiszahl ¹

2.2    Innensumme und Au§ensumme

Unser ZŠhlkriterium fŸr ein einzelnes Karo war die Position seines Mittelpunktes. Deshalb haben wir Karos, die nur teilweise im Kreis liegen und mitgezŠhlt wurden, und andererseits auch Karos, die nicht mitgezŠhlt wurden, obwohl sie teilweise im Kreis liegen.

Nach den Regeln der Kunst hŠtten wir mit Innensumme und Au§ensumme arbeiten mŸssen. Die Innensumme ist die Anzahl derjenigen Karos, die im Kreis enthalten sind. Die Au§ensumme ist die Anzahl derjenigen Karos, die als Gesamtfigur den Kreis enthalten. Die Abbildung 2 illustriert fŸr den Radius 10 Innen- und Au§ensumme.

Abb. 2: Innen- und Au§ensumme

Die Tabelle 2 zeigt die entsprechenden Anzahlen und Approximationen von ¹.

 

Radius

 

Innensumme

Approx. ¹

 

Au§ensumme

Approx. ¹

1

 

0

0.

 

4

4.

2

 

4

1.

 

16

4.

3

 

16

1.777777778

 

36

4.

4

 

32

2.

 

60

3.750000000

5

 

60

2.400000000

 

88

3.520000000

6

 

88

2.444444444

 

132

3.666666667

7

 

120

2.448979592

 

172

3.510204082

8

 

164

2.562500000

 

224

3.500000000

9

 

216

2.666666667

 

284

3.506172840

10

 

276

2.760000000

 

344

3.440000000

100

 

31016

3.101600000

 

31796

3.179600000

1000

 

3137548

3.137548000

 

3145520

3.145520000

10000

 

314119052

3.141190520

 

314199016

3.141990160

Tabelle 2: Innen- und Au§ensumme

Da der Kreis keine pathologische Kurve ist, dŸrfen wir ruhig nach dem ersten Verfahren mit den Karomittelpunkten arbeiten.

2.3    Kreisumfang

Nachdem sich die FlŠchenbestimmung mit den Karos recht bewŠhrt hat, kšnnte man in Versuchung geraten, dieselben Karofiguren fŸr die Bestimmung des Kreisumfanges zu verwenden.

Wir zŠhlen dazu die Umfangstrecken bei den Abbildungen 1.1 bis 1.3 und berechnen das VerhŠltnis zum Kreisdurchmesser (Tab. 3).

 

Radius

Umfang

Approx. ¹

1

8

4.

2

16

4.

3

24

4.

4

32

4.

5

40

4.

6

48

4.

7

56

4.

8

64

4.

9

72

4.

10

80

4.

100

800

4.

1000

8000

4.

10000

80000

4.

Tab. 3: Falsche Umfangberechnung

Da ist etwas schief gelaufen, oder vielmehr waagerecht und senkrecht statt schrŠg. Das erklŠrt auch den Fehler.

Wir erhalten viermal die QuerschnittslŠnge (Durchmesser) als Umfang statt nur ¹-mal. Das ist die Sicht von links, rechts, oben und unten.

3     Kugel

3.1    Kugelvolumen

Wir arbeiten mit EinheitswŸrfeln. Die Abbildung 3 zeigt die Situation fŸr den Radius 10. Das Kriterium fŸr die Aktivierung eines WŸrfelchens ist die Position seines Mittelpunktes.

Abb. 3: Kugel im WŸrfelraster

In der Abbildung 4 ist die Kugel weggelassen worden. Wer Lust hat, kann das mit WŸrfelchen nachbauen. Wir brauchen dazu 4224 WŸrfelchen (Tab. 4)

Abb. 4: Nur WŸrfelchen

Nun gehtÕs wieder ans AuszŠhlen (Tab. 4). Das ZŠhlkriterium ist die Position des jeweiligen WŸrfelmittelpunktes.

 

Radius

Anzahl WŸrfelchen

Quotient

1

8

8.

2

32

4.

3

136

5.037037037

4

280

4.375000000

5

552

4.416000000

6

912

4.222222222

7

1472

4.291545190

8

2176

4.250000000

9

3112

4.268861454

10

4224

4.224000000

100

4188896

4.188896000

1000

4188806000

4.188806000

Tab. 4: Anzahl WŸrfelchen

Wenn wir die Anzahl der WŸrfelchen durch die dritte Potenz des Radius dividieren, approximieren wir den Wert . Unsere ausgezŠhlten Werte sind fast alle etwas zu hoch.

3.2    KugeloberflŠche

Wiederum falsch ist es, die OberflŠche des Polyeders der Abbildung 4 mit der KugeloberflŠche gleichzusetzen. Das Polyeder der Abbildung 4 hat als OberflŠche sechsmal die Werte der Tabelle 1. Wir sehen von vorne, hinten, links, rechts, unten und oben je den Kreis im Karoraster. Diese falsche Methode liefert also sechsmal die QuerschnittsflŠche der Kugel als deren OberflŠche. Die richtige KugeloberflŠche ist nur viermal die QuerschnittsflŠche.

4     Ausblick

FŸr das nd-Volumen funktioniert die AuszŠhlmethode. FŸr die HyperoberflŠche wird sie falsch.

Die Tabelle 5 gibt die Anzahlen fŸr die Dimension 4. Der Quotient mit der vierten Potenz des Radius sollte  ergeben (man beachte das Quadrat beim ¹).

 

Radius

Anzahl HyperwŸrfelchen

Quotient

1

16

16.

2

80

5.

3

512

6.320987654

4

1312

5.125000000

5

3312

5.299200000

6

6480

5.

7

12288

5.117867555

8

20352

4.968750000

9

33392

5.089468069

10

49648

4.964800000

11

73408

5.013865173

12

102176

4.927469136

13

142256

4.980777984

14

190544

4.960016660

15

253088

4.999269136

16

324448

4.950683594

17

414768

4.966032495

18

517776

4.932327389

19

645888

4.956131399

20

790400

4.940000000

 

Tab. 5: Anzahl HyperwŸrfelchen

Im vierdimensionalen Fall gibt es HyperwŸrfelmittelpunkte die exakt auf der HypersphŠre liegen. So ist etwa:

 

                                                                                         (1)

 

 

Websites

Hans Walser: Unmšgliche pythagoreische Dreiecke (17. 09. 2016):

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/U/Unmoegl_pyth_Dreiecke/Unmoegl_pyth_Dreiecke.htm