Hans Walser, [20221012]
Kegelschnitte abrollen
Anregung: K. H., Gö.
1 Worum geht es?
Simultanes Abrollen
von Ellipse auf Ellipse und Hyperbel auf Hyperbel
2
Start mit
Ellipse
Auf der
festliegenden grünen Ellipse rollt die kongruente rote Ellipse ab (Abb. 1).
Abb. 1:
Abrollen der Ellipse
Nun bringen wir zwei
kongruente Hyperbeln mit ins Spiel (Abb. 2). Die beiden Hyperbeln rollen
ebenfalls aufeinander ab.
Abb. 2:
Hyperbeln
Die blaue Hyperbel
hat einen Brennpunkt der grünen und einen Brennpunkt der roten Ellipse als
Brennpunkte. Die gelbe Hyperbel benutzt die beiden anderen Brennpunkte. Die
Brennpunkte der Ellipsen und der Hyperbeln liegen also übers Kreuz.
Die beiden Ellipsen
und die beiden Hyperbeln haben eine gemeinsame Berührtangente (Abb. 3).
Abb. 3:
Gemeinsame Berührtangente
Das Vierseit der Abbildung 4 gibt den Zusammenhang zwischen den
Brennpunkten und den Berührungspunkten.
Abb. 4:
Brennpunkte und Berührungspunkte
Für die Ellipsen der vorstehenden Abbildungen wurden die
Halbachsenlängen a = 2 und b = 1 gewählt. Die halbe
Brennpunktweite ist somit c = √(a2 – b2)
= √3 ≈ 1.732.
Für die Hyperbeln ergeben sich daraus die Halbachsenlängen aHyperbel = √(a2 – b2)
= c = √3 ≈ 1.732, bHyperbel
= b = 1 und cHyperbel = a
= 2. Es werden also die Brennpunktweite und die lange Achse vertauscht.
Sonderfall: Für a = √2 und
b = 1 erhalten wir gleichseitige Hyperbeln (mit orthogonalen
Asymptoten) (Abb. 5). Die zugehörigen Ellipsen werden gelegentlich als silberne
Ellipsen bezeichnet.
Abb. 5:
Sonderfall
Der Sonderfall im
Sonderfall besteht darin, dass sich die beiden Hyperbeln im Unendlichen
berühren (Abb. 6). Die vier Brennpunkte bilden dann ein Quadrat.
Abb. 6:
Sonderfall im Sonderfall
3
Start mit
Hyperbel
Wir vertauschen die
Rollen von Ellipse und Hyperbel und beginnen mit einer grünen Hyperbel, auf der
sich eine rote Hyperbel abrollt (Abb. 7). Interessant ist jeweils das Umsteigen
des Berührungspunktes von einem Hyperbelast auf den anderen.
Abb. 7: Abrollen
der Hyperbel
Nun passen wir
kreuzweise die Ellipsen ein (Abb. 8).
Abb. 8:
Ellipsen
Die Abbildung 9
zeigt wiederum den Sonderfall mit gleichseitigen Hyperbeln und silbernen
Ellipsen.
Abb. 9:
Sonderfall
Der Sonderfall im
Sonderfall besteht darin, dass sich die beiden Hyperbeln im Unendlichen
berühren (Abb. 10). Die vier Brennpunkte bilden dann ein auf einer Ecke
stehendes Quadrat.
Abb. 10:
Sonderfall im Sonderfall
Weblinks
Hans Walser:
Kegelschnitte abrollen
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kegelschnitte_abrollen/Kegelschnitte_abrollen.html
Hans Walser: Parabel
abrollen
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/P/Parabel_abrollen/Parabel_abrollen.html