Hans Walser, [20230630]

Hinkende Polygone

1 Worum es geht

Gleichseitige Polygone mit rhythmischem Winkelverhalten. Die Polygone sind in der Regel geschlossen.

2 Einführungsbeispiel

Abb. 1: Einführungsbeispiel

Jede Figur ist mit zwei natürlichen Zahlen parametrisiert. Der erste Parameter gibt den Rhythmus an, der zweite den Außenwinkel oder die Verdrehung an den Knoten. Wir erläutern dies an einigen Standbildern.

2.1 Allgemeiner Fall

Wir besprechen die Figur [3,5] (Abb. 2).

Abb. 2: Figur [3,5]

In der Figur [3,5] bedeutet der zweite Parameter, also die 5, dass die Außenwinkel und damit die Verdrehungen 360°/5 = 72° betragen, also ein Fünftel des vollen Winkels. Die Vorzeichen der Verdrehung, also der Drehsinn, folgt dem Rhythmus –, +, +, –, +, +, –, +, +, .... Es erfolgt also jede dritte Drehung im negativen Drehsinn. Dies wird durch den ersten Parameter, also die 3, angegeben.

2.2 Zick-Zack-Linie

Ist der erste Parameter eine 2, ergibt sich eine Zick-Zack-Linie (Abb. 3). In diesem Fall ist das Polygon nicht geschlossen.

Abb. 3: Zick-Zack-Linie

2.3 Regelmäßiges Vieleck

Ist der erste Parameter eine 1, ergibt sich ein regelmäßiges Vieleck mit dem zweiten Parameter als Eckenzahl (Abb. 4).

Abb. 4: Regelmäßiges Vieleck

2.4 Mehrfachbelegungen

In der Figur [4,5] haben wir Doppelbelegungen von Knoten (Abb. 5).

Abb. 5: Doppelte Knotenbelegungen

In der Figur [6,5] ergeben sich Mehrfachbelegungen von Kanten und Knoten (Abb. 6). (Die Abwicklung des Dodekaeders hat es in sich.)

Abb. 6: Mehrfachbelegungen von Kanten und Knoten

Die Figur [7,5] ist nicht geschlossen (Abb. 7).

Abb. 7: Nicht geschlossene Figur

Abb. 8: Schönes Beispiel

3 Verallgemeinerung

Wir können bei den Vielfachen des ersten Parameters auch jeweils um das Doppelte, das Dreifache, ... des im positiven Drehsinn verwendeten Winkels nun im negativen Drehsinn drehen. Damit haben wir einen dritten Parameter, den Negativfaktor.

3.1 Negativ doppelt

In der Abbildung 9 wird im negativen Drehsinn um das Doppelte gedreht.

Abb. 9: Negativ doppelt

Die Figur [10,10] hat man auch schon gesehen (Abb. 10).

Abb. 10: Figur [10,10], negativ doppelt

3.2 Negativ dreifach

In der Abbildung 11 wird im negativen Drehsinn um das Dreifache gedreht.

Abb. 11: Negativ dreifach

Abb. 12: Figur [7,8], negativ dreifach

3.3 Negativ vierfach

Abb. 13: Negativ vierfach

Abb. 14: Figur [7,7], negativ vierfach

3.4 Negativ fünffach

Abb. 15: Negativ fünffach

4 Didaktische Anmerkung

Die Figuren eignen sich für Turtlegrafik.

4.1 Beispiel

Mit

from gturtle import *

makeTurtle()

right(90)

repeat 8:

repeat 7:

forward(50)

left(45)

right(45)

right(3*45)

ergibt sich die Figur [7,8] mit dreifacher negativer Drehung (Abb. 16, vgl. Abb. 11).

Abb. 16: Figur [7,8], negativ dreifach

4.2 Allgemein

Mit

from gturtle import *

makeTurtle()

def Figur(Rhythmus, Teiler, Negativfaktor, Farbe):

right(90)

setPenColor(Farbe)

repeat Teiler:

repeat Rhythmus:

forward (50)

left(360/Teiler)

right(360/Teiler)

right(Negativfaktor*360/Teiler)

kann jede Figur dieser Studie gezeichnet werden.

Beispiel:

from gturtle import *

makeTurtle()

def Figur(Rhythmus, Teiler, Negativfaktor, Farbe):

right(90)

setPenColor(Farbe)

repeat Teiler:

repeat Rhythmus:

forward (50)

left(360/Teiler)

right(360/Teiler)

right(Negativfaktor*360/Teiler)

Figur(10,10,2,"red")

liefert die Figur[10,10] doppelt negativ (Abb. 10 und 17).

Abb. 17: Figur[10,10], doppelt negativ

Mit

from gturtle import *

makeTurtle()

def Figur(Rhythmus, Teiler, Negativfaktor, Farbe):

right(90)

setPenColor(Farbe)

repeat Teiler:

repeat Rhythmus:

forward (50)

left(360/Teiler)

right(360/Teiler)

right(Negativfaktor*360/Teiler)

hideTurtle()

Figur(10,10,2,"red")

verschwindet die Schildkröte (Abb. 18).

Abb. 18: Versteckte Schildkröte

Weblinks

Python

https://python-online.ch/pyonline/PyOnline.php

Hans Walser: Kinematisches 18-Eck

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kinematisches_18-Eck/Kinematisches_18-Eck.html

Hans Walser: Zick-Zack

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/Z/Zick-Zack/Zick-Zack.html