Hans Walser, [20190312]

Geometrische Folge und Goldener Schnitt

Idee und Anregung: B. v. P.

1     Worum geht es?

Eine Dreiecksaufgabe mit einer geometrischen Folge fźhrt zum Goldenen Schnitt.

2     Das Problem

Gesucht ist ein Dreieck, in welchem c, b, a,  in dieser Reihenfolge eine geometrische Folge bilden.

3     Bearbeitung

Wegen der Bedingung źber die geometrische Folge ist

 

                                                                                   (1)

 

 

 

mit einem noch unbekannte Quotienten q.

Fźr den FlŠcheninhalt A erhalten wir:

 

                                                                               (2)

 

 

 

Die Seiten a und b stehen daher senkrecht. Wir haben ein rechtwinkliges Dreieck.

Aus dem Satz des Pythagoras

 

                                                                                                                 (3)

 

 

 

erhalten wir:

 

                                                               (4)

 

 

 

Diese biquadratische Gleichung fźr q hat die positive reelle Lšsung:

 

                                                                                                       (5)

 

 

 

Dabei ist  der Goldene Schnitt (Walser 2013).

Die Abbildung 1 zeigt das Dreieck.

Abb. 1: Das Dreieck

4     Bemerkungen und ErgŠnzungen

á            Der in der Abbildung 1 eingezeichnete Hypotenusenabschnitt p ist das nŠchste Glied der geometrischen Folge.

á            Das Dreieck erscheint in anderem Kontext in Walser 2013, S. 173 und 189.

á            Die geometrische Folge wird in [1] und [3] besprochen.

á            Das Dreieck erscheint auch im Kontext der Kardioide, vgl. [1] und [2].

á            Das Dreieck ist eines der wenigen Beispiele, in denen die Quadratwurzel aus dem Goldenen Schnitt erscheint.

 

 

Literatur

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing źber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.

 

Weblinks

[1] Hans Walser: Means, Pythagoras and Golden Section

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/M/Means/Means.htm

 

[2] Hans Walser: Kardioide und Goldener Schnitt

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kardioide/Kardioide.htm

 

[3] Hans Walser: Geometric Sequence and Triangles

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Geometric_Sequence/Geometric_Sequence.htm