Hans Walser, [20191021]

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1     Worum geht es?

Spiel mit Zahlen.

2     Problemstellung

Es ist:

 

                                                      1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3                                                (1)

 

Gibt es weitere drei aufeinanderfolgende Zahlen mit der entsprechenden Eigenschaft?

3     Bearbeitung

Wir nennen die drei Zahlen z, z + 1, z + 2. Daraus ergibt sich die Bedingung:

 

                                                                     (2)

 

 

 

 

Die erste Lšsung (Faktor ) dieser kubischen Gleichung ist . Daraus ergeben sich die drei Zahlen –1, 0, +1.

Division durch  fŸhrt auf die quadratische Gleichung

 

                                                                                                         (3)

 

 

 

 

Dies ergibt die beiden Lšsungen  und . Die zugehšrigen Lšsungstripel sind 1, 2, 3 und –3, –2, –1.

Wenn wir die Lšsungstripel als kartesische Koordinaten deuten, erhalten wir drei kollineare Šquidistante Punkte (Abb. 1). Der Abstand von Punkt zu Punkt:

 

                                                                                                                               (4)

 

 

 

 

Der Richtungsvektor der Geraden ist:

 

                                                                                                                     (5)

 

 

 

 

 

Abb. 1: Kollineare Šquidistante Punkte

4     Verallgemeinerung

Wir fragen nach n aufeinanderfolgenden Zahlen mit der zu (1) analogen Bedingung:

 

                                                                                             (6)

 

 

 

 

4.1    Zwei Zahlen

Wir haben die Bedingung:

 

                                                                                               (7)

 

 

 

 

 

 

Die Lšsungen sind der goldene Schnitt (Walser 2013). Mit

 

                                                                                                       (8)

 

 

 

 

erhalten wir die Zahlenpaare

 

                                                und                                          (9)

 

 

 

oder umgeformt:

 

                                                  und                                           (10)

 

 

 

 

Die nach (6) zugehšrigen Summen beziehungsweise Produkte sind:

 

                                                          und                                                   (11)

 

 

 

 

Wir haben keine ganzzahlige, sondern irrationale Lšsungen.

4.2    Vier Zahlen

FŸr vier Zahlen liefert die Bedingung (6) bezŸglich z die beiden nicht ganzzahligen Lšsungen:

 

                                                       (12)

 

 

 

 

4.3    FŸnf Zahlen

FŸr fŸnf Zahlen liefert die Bedingung (6) bezŸglich z die folgenden fŸnf Lšsungen:

 

                                                                                     (13)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.4    19 Zahlen

FŸr 19 Zahlen erhalten wir folgende numerischen Lšsungen bezŸglich z:

 

           (14)

 

 

 

 

 

 

 

Wir haben eine ganzzahlige Lšsung, nŠmlich 9. Die Ÿbrigen Lšsungen sind offenbar nur nŠherungsweise ganzzahlig.

4.5    Vermutung

FŸr eine ungerade Anzahl u = 2m + 1, u > 3, von Zahlen haben wir die Zahl –m als ganzzahlige Lšsung bezŸglich z. Die Ÿbrigen Lšsungen sind nicht ganzzahlig, nŠhern sich aber fŸr gro§e u ganzen Zahlen an. FŸr eine gerade Anzahl g von Zahlen haben wir keine ganzzahlige Lšsung. FŸr gro§e g nŠhern sich die Lšsungen aber ganzen Zahlen an.

Wir haben somit ein ParitŠtsproblem.

 

Diese Vermutung wird in einer folgenden Studie untersucht.

 

Literatur

Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.

 

Websites

Lehrer LŠmpel: 1 2 3

http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/1/1_2_3/1_2_3.htm