Hans Walser, [20191021]
1 2 3
Spiel mit Zahlen.
Es ist:
1 + 2 + 3 = 1 × 2 × 3 (1)
Gibt es weitere drei aufeinanderfolgende Zahlen mit der entsprechenden Eigenschaft?
Wir nennen die drei Zahlen z, z + 1, z + 2. Daraus ergibt sich die Bedingung:
(2)
Die erste Lšsung (Faktor ) dieser kubischen Gleichung ist . Daraus ergeben sich die drei Zahlen –1, 0, +1.
Division durch fŸhrt auf die quadratische Gleichung
(3)
Dies ergibt die beiden Lšsungen und . Die zugehšrigen Lšsungstripel sind 1, 2, 3 und –3, –2, –1.
Wenn wir die Lšsungstripel als kartesische Koordinaten deuten, erhalten wir drei kollineare Šquidistante Punkte (Abb. 1). Der Abstand von Punkt zu Punkt:
(4)
Der Richtungsvektor der Geraden ist:
(5)
Abb. 1: Kollineare Šquidistante Punkte
Wir fragen nach n aufeinanderfolgenden Zahlen mit der zu (1) analogen Bedingung:
(6)
Wir haben die Bedingung:
(7)
Die Lšsungen sind der goldene Schnitt (Walser 2013). Mit
(8)
erhalten wir die Zahlenpaare
und (9)
oder umgeformt:
und (10)
Die nach (6) zugehšrigen Summen beziehungsweise Produkte sind:
und (11)
Wir haben keine ganzzahlige, sondern irrationale Lšsungen.
FŸr vier Zahlen liefert die Bedingung (6) bezŸglich z die beiden nicht ganzzahligen Lšsungen:
(12)
FŸr fŸnf Zahlen liefert die Bedingung (6) bezŸglich z die folgenden fŸnf Lšsungen:
(13)
FŸr 19 Zahlen erhalten wir folgende numerischen Lšsungen bezŸglich z:
(14)
Wir haben eine ganzzahlige Lšsung, nŠmlich 9. Die Ÿbrigen Lšsungen sind offenbar nur nŠherungsweise ganzzahlig.
FŸr eine ungerade Anzahl u = 2m + 1, u > 3, von Zahlen haben wir die Zahl –m als ganzzahlige Lšsung bezŸglich z. Die Ÿbrigen Lšsungen sind nicht ganzzahlig, nŠhern sich aber fŸr gro§e u ganzen Zahlen an. FŸr eine gerade Anzahl g von Zahlen haben wir keine ganzzahlige Lšsung. FŸr gro§e g nŠhern sich die Lšsungen aber ganzen Zahlen an.
Wir haben
somit ein ParitŠtsproblem.
Diese Vermutung wird in einer folgenden Studie untersucht.
Literatur
Walser, H. (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.
Websites
Lehrer LŠmpel: 1 2 3
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/1/1_2_3/1_2_3.htm