Der n-dimensionale HyperwŸrfel

 

 

 Hochrhein-Seminar 2011/2012 fŸr Mathematik und Naturwissenschaften

Waldshut

Freitag, 27. Januar 2012, 15.00 Uhr

 

Hans Walser

www.walser-h-m.ch/hans

 

 

last modified: 29. September 2014


Kurzfassung

Mit einer geeigneten Codierung der Eckpunkte des n-dimensionalen HyperwŸrfels kann ein Bezug zur zweidimensionalen Zeichenebene hergestellt werden. Als gutes Hilfsmittel erweist sich dabei die Hamming-Distanz zweier Eckpunkte. Das Verfahren gestattet, systematisch zweidimensionale Bilder von HyperwŸrfeln verschiedener Dimensionen herzustellen. Es lŠsst sich im Unterricht ãvon HandÒ problemlos durchfŸhren, gestattet aber auch, entsprechende Computerprogramme zu schreiben. Neben Kantenmodellen kšnnen dabei verschiedene Diagonalenmodelle gezeichnet werden.

Wertvolle Hinweise und Illustrationen verdanke ich Herrn Willibald Limbrunner und Herrn Alois Temmel, Du§lingen.

1              Worum geht es?

Im Unterricht — oder hŠufiger noch vor oder nach der Unterrichtsstunde — werde ich von SchŸlerinnen und SchŸlern gelegentlich gefragt, wie man sich die vierte Dimension vorstellen kann. Die Motivationen zu diesen Fragen sind unterschiedlich. HŠufig haben die SchŸlerinnen und SchŸler etwas von der RelativitŠtstheorie gehšrt, wo es mehr als drei Dimensionen gebe. Oder dann ist es in der Vektorgeometrie naheliegend, Formeln, die in der Ebene und im Raum formal všllig gleich aussehen, etwa fŸr die LŠnge eines Vektors oder das Skalarprodukt, auf hšhere Dimensionen zu verallgemeinern. P—lya sprach in solchen FŠllen von einer ãVerallgemeinerung durch VerwŠsserungÒ.

Ich mšchte zeigen, was ich in solchen FŠllen mit meinen SchŸlerinnen und SchŸlern diskutiere.

2              Der vierdimensionale HyperwŸrfel

2.1         Am Anfang war der Punkt

Im Anfang war das Wort. (Joh. 1,1)

Wir holen Anlauf bei den bekannten Dimensionen, um den Sprung ins Unbekannte zu schaffen. Dazu beginnen wir mit dem Nulldimensionalen, dem Punkt. Dann verschieben wir den Punkt um eine Einheit nach rechts. Wenn wir uns den Punkt wie Max und Moritz im Teig vorstellen, dann zieht er FŠden: Die ursprŸngliche Lage des Punktes und seine Verschiebungsbahn zusammen mit der Endlage bilden das eindimensionale Analogon zum WŸrfel, die Strecke (vgl. [Coxeter 1973] S. 123).

 

Vom Punkt zum vierdimensionalen HyperwŸrfel

 

Nun lŠsst sich diese Strecke nach Art eines Scheibenwischers um eine Einheit nach oben schieben. Damit entsteht ein Quadrat.

2.2         Von jetzt an wird geschummelt

Im dreidimensionalen Raum mŸsste nun das Quadrat um eine Einheit nach hinten oder nach vorn verschoben werden, um den WŸrfel zu erhalten. Da der Lebensraum eines Schulmeisters, die Wandtafel, aber zweidimensional ist, kann dies nicht so gezeichnet werden. Man behilft sich mit einem betrŸgerischen Trick: Man schiebt um eine Einheit nach rechts oben. SchŸlerinnen und SchŸler sind aufgrund ihrer langjŠhrigen Konditionierung mit SchrŠgbildern bereit, das Resultat als WŸrfel anzusehen. Gelegentlich wird die fehlende VerkŸrzung nach hinten kritisiert, aber auch dann hŠtten wir ein SchrŠgbild, das kein ãechtesÒ Bild eines WŸrfels sein kann. Wir schummeln.

Was hindert uns nun, weiter zu schummeln? Wir verschieben die Figur um eine Einheit nach rechts unten und erhalten ein Bild des vierdimensionalen HyperwŸrfels.

 

Vierdimensionaler HyperwŸrfel

 

3              Kombinatorischer Aspekt

3.1         AbzŠhlen der Bauelemente

Wir zŠhlen nun die Bauteile in verschiedenen Dimensionen ab. So besteht beispielsweise  die Strecke aus zwei Punkten und einer Strecke, das Quadrat aus vier Punkten, vier Strecken und dem Quadrat selber.

 

 

Dimension

Punkte (Ecken)

Strecken (Kanten)

Quadrate (FlŠchen)

WŸrfel

4d Hyper- WŸrfel

 

0

1

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Anzahl der Bauteile

 

Beim vierdimensionalen HyperwŸrfel lassen sich die Ecken einfach auszŠhlen, zumal sich die Eckenzahl mit jeder Dimension verdoppelt. Das AuszŠhlen der Strecken ist eine Flei§arbeit; bei den Quadraten ist stšrend, dass in unserem betrŸgerischen Bild viele Quadrate als Rhomben erscheinen. Das AuszŠhlen der dreidimensionalen WŸrfel ist eine gute †bung im Mustererkennen.

3.2         Wie geht es weiter?

In der Tabelle lŠsst sich ein Rekursionsmuster erkennen: Jede Zahl ist die Summe des Zweifachen der Zahl unmittelbar oberhalb plus der Zahl unmittelbar links oben. Lediglich die oberste Eins tanzt aus der Reihe. Aber eben: Am Anfang war der Punkt.

Die Richtigkeit dieser Rekursion lŠsst sich so einsehen: Die sechs Seitenquadrate des WŸrfels beispielsweise entstehen durch das ursprŸngliche Frontquadrat sowie die nach hinten verschobene Kopie. Weiter hinterlassen die vier Seiten des Frontquadrates beim Verschieben je eine Spur, welche das Boden- und Deckquadrat sowie die beiden Seitenquadrate links und rechts ergeben. Die zugehšrige Rekursion ist in der folgenden Tabelle exemplarisch durch ein Pfeilschema angegeben. 

Somit kann die Tabelle fŸr beliebig hohe Dimensionen weitergefŸhrt werden.

 

 

Dimen-sion

Punkte

Strecken

Quad-rate

WŸrfel

4d-Hyper- WŸrfel

5d-Hyper-

WŸrfel

Zeilen-

summe

altern.

Zeilen-

summe

0

1

 

 

 

 

 

 

 

1

2

1

 

 

 

 

 

 

2

4

4

1

 

 

 

 

 

3

8

12

6

1

 

 

 

 

4

16

32

24

8

1

 

 

 

5

32

80

80

40

10

1

 

 

 

Rekursion. Zeilensumme. Alternierende Zeilensumme

 

Die Zeilensummen unserer Tabelle ergeben die Potenzen zur Basis drei. Dies ist eine Folge davon, dass jede Zahl in einer bestimmten Zeile genau dreimal als Summand in der nŠchsten Zeile vorkommt. So findet sich beispielsweise die Eckenzahl 16 des vierdimensionalen HyperwŸrfels zweimal in der Eckenzahl 32 des fŸnfdimensionalen HyperwŸrfels und einmal in seiner Seitenzahl 80.

Die alternierenden Zeilensummen ergeben immer 1. Dies ist die Eulersche Polyederformel. In der Ÿblichen Schreibweise der Eulerschen Polyederformel wird die Gesamtfigur selber nicht mitgezŠhlt, es ergibt sich dann bei den ungeraden Dimensionen 2 und bei den geraden Dimensionen 0. Das alternierende MitzŠhlen der Gesamtfigur ergibt eine Formulierung ohne Fallunterscheidung hinsichtlich der ParitŠt der Dimension.

3.3         Zwischenspiel: Abwicklung

Der 4d-HyperwŸrfel hat also nach obiger Tabelle 8 gewšhnliche dreidimensionale WŸrfel als SeitenhyperflŠchen.

 

Abwicklung des 4d-HyperwŸrfels

 

3.4         Analogie zum Pascal-Dreieck

Unsere Rekursionsformel sowie die Resultate der Zeilensummen und der alternierenden Zeilensummen haben eine sehr starke Analogie zu den entsprechenden Sachverhalten im Pascal-Dreieck der Binomialkoeffizienten.

 

Pascal-Dreieck

 

3.5         Matrix-Schreibweise

Die Binomialkoeffizienten kšnnen als (unendliche) Dreiecksmatrix P geschrieben werden. Das Quadrat P*P dieser Matrix liefert die Anzahlen der Bauteile im n-d HyperwŸrfel.

 

   

Pascal-Matrix

 

Welche Eigenschaften haben die Matrizen , , ... ?

Was ist , ,  , ... ?

Wir bezeichnen die Elemente der Bauteiltabelle mit  (Anzahl der k-dimensionalen Bauteile im n-dimensionalen HyperwŸrfel). SchŸlerinnen und SchŸler finden rasch den Link mit den Binomialkoeffizienten:

Wie lŠsst sich das beweisen?

4              Isometrische Darstellungen

4.1         Isometrische Darstellung des WŸrfels

Bei einer isometrischen Darstellung werden die drei Koordinatenrichtungen gleichmŠ§ig verkŸrzt. Der Umriss eines WŸrfels erscheint als regelmŠ§iges Sechseck.

 

Isometrische Darstellung des WŸrfels

 

In der Darstellung des vierdimensionalen HyperwŸrfels oben sind ebenfalls alle vier ãKoordinatenrichtungenÒ gleichmŠ§ig behandelt. Daher sprechen wir ebenfalls von einer isometrischen Darstellung.

 

    

 

WŸrfel oder Rhomben?                                                Tribar

 

Diese Darstellung ist – wie jede ebene Darstellung einer dreidimensionalen Figur – nicht eindeutig. Daher ist es auch mšglich, Figuren wie das Tribar von R. Penrose zu zeichnen, welche rŠumlich gar nicht mšglich sind.

4.2         Zwischenspiel: Von der Dimension vier auf die Dimension drei

Gibt es eine isometrische dreidimensionale Figur des vierdimensionalen WŸrfels? Eine Mšglichkeit ist das Rhombendodekaeder. Das Rhombendodekaeder entsteht durch Aufsetzen von Pyramiden mit Neigungswinkel 45¡ auf alle SeitenflŠchen. Wenn wir nun die ehemaligen WŸrfelecken mit dem Mittelpunkt verbinden, erhalten wir ein isometrisches Bild des vierdimensionalen HyperwŸrfels.

 

    

Rhombendodekaeder und vierdimensionaler HyperwŸrfel

 

4.3         Ebene isometrische Darstellung des n-dimensionalen HyperwŸrfels

Kšnnen wir nun in zweidimensionales isometrisches Bild des fŸnfdimensionalen HyperwŸrfels zeichnen? Das Problem ist, dass wir zum ãWeiterschummelnÒ keine Richtung mehr frei haben. Wir mŸssen daher von Anfang an mit einer FŸnferteilung des gestreckten Winkels, also mit einer 36¡-Teilung (anstelle der 45¡-Teilung) arbeiten.

 

 

Der fŸnfdimensionale HyperwŸrfel

 

Bei diesem Anlauf ist bereits das Quadrat verzerrt als Rhombus dargestellt. Hingegen hat die Schlussfigur eine beachtliche Symmetrie. In dieser Figur sind alle Kanten gleich lang, das hei§t gegenŸber dem ãwirklichenÒ fŸnfdimensionalen HyperwŸrfel gleich stark verkŸrzt dargestellt; dies wird als isometrische Darstellung bezeichnet. Die folgende Figur zeigt die isometrischen Darstellungen der (Hyper-)WŸrfel in den Dimensionen zwei bis sieben.

 

    

 

    

 

    

Isometrische Darstellung in den Dimensionen zwei bis sieben

 

Im dreidimensionalen Fall sehen wir nur sieben der acht WŸrfelecken, da in der Mitte zwei WŸrfelecken aufeinander fallen. Ein entsprechendes PhŠnomen haben wir in den Dimensionen fŸnf, sechs und sieben. In den Dimensionen zwei und vier erscheint in der Mitte der Darstellung keine Ecke.

Der Umriss der isometrischen Darstellung des n-dimensionalen HyperwŸrfels ist ein regelmŠ§iges 2n-Eck.

4.4         Figuren mit Kreisen

Aufgrund der isometrischen Darstellung liegen alle durch eine Kante verbundene Nachbarpunkte eines Eckpunktes auf einem Kreis. Dies fŸhrt zu folgenden hŸbschen Figuren.

 

    

 

    

 

    

Kreisfiguren

 

5              Die Hamming-Distanz

Zur Herstellung von Computerbildern ist es notwendig, die Eckpunkte des HyperwŸrfels in den Griff zu bekommen. Dazu ist die Idee der Hamming-Distanz hilfreich.

5.1         Richard Wesley Hamming

 

Richard Wesley Hamming, 1915 – 1998

 

Richard Wesley Hamming (11. Februar 1915 – 7. Januar 1998) arbeitete 1945 in Los Alamos am Projekt zur Herstellung der Atombombe. Nach dem zweiten Weltkrieg studierte er bei Bell Telephones Codes, welche IrrtŸmer selber entdecken und korrigieren kšnnen. Ab 1956 arbeitete Hamming bei IBM an der Entwicklung von leistungsfŠhigen Computern.

5.2         Der gestšrte Nachrichtenkanal

Wir denken uns eine gestšrte †bermittlung einer aus Nullen und Einsen codierten Nachricht. Ein einzelnes Zeichen (Null oder Eins) werde vom EmpfŠnger mit der Wahrscheinlichkeit p richtig interpretiert. Zur Verbesserung der †bermittlungsqualitŠt kšnnen wir die einzelnen Zeichen dreifach senden. Statt einer Null senden wir eine Dreiergruppe von Nullen, entsprechend statt einer Eins eine Dreiergruppe von Einsen. Der EmpfŠnger interpretiert die empfangenen Dreiergruppen nach dem Mehrheitsprinzip: Falls mindestens zwei der drei Elemente Null sind, wird die Dreiergruppe als Null interpretiert, ansonsten als Eins. Eine Dreiergruppe wird daher mit der Wahrscheinlichkeit  richtig interpretiert, was fŸr  eine kleine Verbesserung der EmpfangsqualitŠt darstellt. Die Verbesserung ist der Anteil oberhalb der Diagonalen.

 

 

Dreiergruppen                                         Gruppen zu 99 Zeichen

 

Warum gibt es fŸr  keine Verbesserung der EmpfangsqualitŠt?

NatŸrlich kšnnen wir auch mit Gruppen zu 5, 7, ... Zeichen (warum nur ungerade Zahlen?) arbeiten. Mit der Gruppengrš§e 99 sind wir schon recht nahe bei einer Signalfunktion.

Wir deuten nun die Dreiergruppen als Eckpunktkoordinaten des EinheitswŸrfels.

 

Im EinheitswŸrfel

 

Die Interpretationsregel des EmpfŠngers zerlegt die Menge der Eckpunkte des WŸrfels in zwei Klassen, in denen die Punkte je eine ãKantendistanzÒ von hšchstens eins von einer der beiden Ecken  beziehungsweise  haben. Unter der Kantendistanz zweier Eckpunkte verstehen wir die LŠnge eines Minimalweges lŠngs der WŸrfelkanten zwischen den beiden Eckpunkten. Diese Kantendistanz  wird als Hamming-Distanz bezeichnet.

FŸr beliebige n-tupel, die aus Nullen und Einsen bestehen, ist die Hamming-Distanz die Anzahl der Stellen, in denen sich die beiden n-tupel unterscheiden. Insbesondere ist die Hamming-Distanz vom Ursprung gerade die Anzahl der Einsen im n-tupel, also dessen ãQuersummeÒ.  Wir werden im Folgenden davon Gebrauch machen. ZunŠchst wollen wir uns aber der Frage zuwenden, wie wir die Ecken eines WŸrfels sinnvoll nummerieren kšnnen.

6              Nummerierung der WŸrfelecken

6.1         Zyklische Nummerierung

FŸr ein Quadrat oder allgemein ein geschlossenes Polygon in der Ebene gibt es eine ãnatŸrlicheÒ Nummerierung der Ecken, welche zyklisch um das Polygon herumgeht. Dabei kann die Nummerierung entweder von 1 bis n (bei n Ecken) laufen, oder aber von 0 bis .

Als meine Tochter Regula als kleines MŠdchen ihren ersten Radiowecker mit Digitalanzeige erhielt, stellte sie den Alarm auf 23.55 Uhr. Auf meine Bemerkung, das sei ja mitten in der Nacht, meinte sie, sie wolle herausfinden, ob der Wecker ãMitternachtÒ als 24.00 Uhr oder als 00.00 Uhr anzeige.

Von Waclaw Sierpinski — dem Autor des als Sierpinksi-Dreieck bezeichneten Fraktals (vgl. [Mandelbrot 1991] S. 152) und dem Urheber der von den HP-Rechnern verwendeten umgekehrten polnischen Notation — geht die Anekdote, dass er auch in nicht zyklischen FŠllen und schlie§lich auch im Alltag die Nummerierung bei Null begann. Das fŸhrte dann zu einem Eklat mit einem KoffertrŠger auf einem Bahnhof, den er fŸr drei Koffer entlohnen wollte, wŠhrend der KoffertrŠger auf vier Koffern beharrte.

6.2         Eckennummerierung beim WŸrfel

Bei einem WŸrfel ist eine zyklische Nummerierung nicht mšglich. Wir  kommen aber zu einer ãnatŸrlichenÒ (was immer das hei§t) Nummerierung der WŸrfelecken, indem wir das aus Nullen und Einsen bestehende Koordinatentripel der Ecken des EinheitswŸrfels als Dualzahlen deuten (Figur links).

 

Nummerierung der WŸrfelecken

 

Die Figur rechts zeigt die †bersetzung ins Dezimalsystem. Die Nummerierung lŠuft von null bis sieben. (Leute, die sich nicht mit KoffertrŠgern anlegen wollen, kšnnen noch eins dazugeben.)

6.3         Hamming-Distanz und Eckennummer

 

WŸrfelbild

 

Wir haben nun fŸr jede WŸrfelecke eine Hamming-Distanz vom Ursprung sowie eine Eckennummer. Tragen wir das in einem zweidimensionalen Koordinatensystem auf, und verbinden die Punkte mit einer Hamming-Distanz eins, erhalten wir ein WŸrfelbild.

Dieses Verfahren lŠsst sich nun rein zahlentheoretisch verallgemeinern. FŸr den vierdimensionalen HyperwŸrfel etwa sind die vierstelligen Dualzahlen von 0000 bis 1111 bezŸglich Hamming-Distanz vom Ursprung und Eckennummer zu analysieren und dann zweidimensional aufzutragen. Die Hamming-Dinstanz vom Ursprung ist die Quersumme der Koordinaten.

Zwei Punkte werden genau dann durch eine Kante verbunden, wenn sie Hamming-Distanz eins voneinander haben.

 


 

Koordinaten

Hamming-Distanz vom Ursprung

Ecken-Nummer
dezimal

0000

0

0

0001

1

1

0010

1

2

0011

2

3

0100

1

4

0101

2

5

0110

2

6

0111

3

7

1000

1

8

1001

2

9

1010

2

10

1011

3

11

1100

2

12

1101

3

13

1110

3

14

1111

4

15

Analyse fŸr den vierdimensionalen Fall

 

Visualisierung der Analyse

 

Bild des vierdimensionalen HyperwŸrfels

 

In diesem Bild wird das eingangs beschriebene Verschiebungsprozedere deutlich sichtbar. Die Anzahlen der WŸrfelecken mit den Hamming-Distanzen 0, 1, 2, 3, 4 vom Ursprung sind 1, 4, 6, 4, 1 respektive, womit wir einen Bezug zu den Binomialkoeffizienten erhalten. Der Zusammenhang ergibt sich daraus, dass es  Dualzahlen mit n Stellen und k Einsen gibt.

Die Analyse der n-stelligen Dualzahlen lŠsst sich durch einfache Algorithmen auf dem Computer durchfŸhren. Die folgende Figur zeigt die entsprechenden Bilder fŸr die Dimensionen zwei bis sieben.

 

 

Dimensionen zwei bis sieben

 

Wir wollen nun die Daten fŸr die isometrischen Darstellungen herleiten. In der isometrischen Darstellung erscheinen alle Kanten gleich lang; wir haben also noch deren Richtungen zu studieren. Dies geschieht exemplarisch fŸr den dreidimensionalen Fall.

 

†bergang zur isometrischen Darstellung

 

Die Kanten a, b und c (Figur links) haben — planimetrisch gesehen — die respektiven Steigungen 1, 2 und 4; die entsprechenden Kanten ,  und  (Figur rechts) haben — ebenfalls planimetrisch gesehen — gegenŸber der Horizontalen die respektiven Steigungswinkel 0,  und . Allgemein entspricht im dreidimensionalen Fall einer Kante x mit einer Steigung  eine Kante  mit dem Steigungswinkel .

FŸr den n-dimensionalen Fall erhalten wir den Steigungswinkel:

Mit diesen Daten kšnnen nun die isometrischen Darstellungen als StreckenzŸge vom Punkt mit der Eckennummer 1 aus sukzessive aufgebaut werden.

6.4         Verschiedene Hamming-Distanzen

Die Kanten eines WŸrfels verbinden jeweils zwei Ecken mit einer Hamming-Distanz eins. Wenn wir statt dessen Ecken mit einer Hamming-Distanz k verbinden, ergeben sich Diagonalen der LŠnge . Im WŸrfel bilden etwa die zwšlf SeitenflŠchendiagonalen der LŠnge  den Kepler-Stern (vgl. [Adam/Wyss 1994], S. 43) und die vier Raumdiagonalen der LŠnge  einen Linienstern. Die Eckpunkte selber kšnnen als Diagonalen der LŠnge null gedeutet werden.

 

Diagonalen im  WŸrfel

 

Analog kšnnen nun Diagonalen in HyperwŸrfel eingezeichnet werden. Die folgende Figur zeigt die Diagonalen der LŠnge  im sechsdimensionalen HyperwŸrfel. Diese Figur erinnert an die Fadengrafiken, die mit NŠgeln und FŠden, aber auch mit Informatikhilfsmitteln dargestellt werden kšnnen (vgl. [Koth 1998]).

 

Hamming-Distanz drei im sechsdimensionalen HyperwŸrfel

 


6.5         Dot Art

Mit der Hamming-Distanz null erhalten wir lediglich die Eckpunkte. Im Folgenden die Beispiele fŸr die Dimensionen fŸnf bis zehn.

 

          

    

    

Eckpunkte

 

6.6         Zwei Parameter

Mit der Dimension n und der DiagonalenlŠnge , , haben wir zwei Parameter n und k, die eine Anordnung wie im Pascal-Dreieck der Binomialkoeffizienten nahe legen. Die folgende Figur zeigt einen solchen ãWeihnachtsbaumÒ fŸr .

 

Weihnachtsbaum

 

Literatur

[Adam/Wyss 1994]    Adam, Paul / Wyss, Arnold: Platonische und Archimedische Kšrper, ihre Sternformen und polaren Gebilde. 2. Auflage. Bern: Verlag Paul Haupt 1994. ISBN 3-258-04943-2

[Coxeter 1973]           Coxeter, H.S.M.: Regular Polytopes. Third Edition. New York: Dover 1973. ISBN 0-486-61480-8

[Koth 1998]                Maria Koth: Fadengrafiken mit DERIVE. PM, Praxis der Mathematik. Heft 5 / 40. Jg. Oktober 1998, S. 224-225

[Mandelbrot 1983]     Mandelbrot, Beno”t B.: The Fractal Geometry of Nature. New York: Freeman 1983. ISBN 0-7167-1186-9

[Mandelbrot 1991]     Mandelbrot, B. B.: Die fraktale Geometrie der Natur. Basel: BirkhŠuser 1991.