Hans Walser

Rhombenkšrper

 

 

Braunschweig, 8. Mai 2018

 

Zusammenfassung:

Wir besprechen konvexe Kšrper, welche von kongruenten Rhomben begrenzt sind.

Mit einigen von ihnen lŠsst sich der Raum lŸckenlos und ohne †berlappungen auffŸllen. Dies lŠsst sich mit Papiermodellen zeigen. Die Inkugeln der RaumfŸller bilden eine Kugelpackung. Insbesondere werden wir die optimale Kugelpackung (Kepler, Hales) antreffen.

ZusŠtzlichen RegularitŠtsvoraussetzungen fŸhren zu Rhombenkšrpern mit KantenberŸhrkugeln. 

SŠmtliche Rhombenkšrper lassen sich in Rhombenhexaeder zerlegen.

1     Rhomben gleicher SeitenlŠnge

1.1    In der Ebene

Wir beginnen mit einer Kette von Rhomben gleicher SeitenlŠnge und fŸllen die LŸcken mit weiteren Rhomben (Abb. 1).

Abb. 1: Rhomben in der Ebene

Obwohl die Figur rein planimetrisch konzipiert ist, erhalten wir schlie§lich den Eindruck einer rŠumlichen Figur.

In der Abbildung 2 sind die Start-Rhomben sternfšrmig angeordnet. Wir erhalten schlie§lich den Eindruck einer gewšlbten FlŠche.

Abb. 2: Flach oder gewšlbt?

1.2    Auf in den Raum

Dieser Eindruck ist aber falsch, wie das erste Bild der Abbildung 3 zeigt.

Abb. 3: Aufbruch in den Raum

Wir fŸgen nun (Abb. 3, mitte) in der Mitte neue Rhomben ein, die wirklich in den Raum ragen. Ihre Kanten haben gegenŸber der horizontalen Tellerebene die Steigung 1, also den Steigungswinkel 45¡. Die neuen Rhomben sind so bemessen, dass ihre senkrechte Projektion auf die Tellerebene mit den ursprŸnglichen zentralen Rhomben zusammenfŠllt.

Nun kšnnen wir in die LŸcken einen weiteren Kranz von Rhomben einfŸgen (Abb. 3, rechts).

Wir kšnnen fršhlich weiterfahren (Abb. 4).

Abb. 4: NŠchste Runden

Die Rhombenkanten haben zwar alle dieselbe Steigung, da sie parallel sind. Trotzdem werden die RhombenflŠchen mit jeder Runde steiler. Warum ist das so?

Die obersten roten Rhomben (Abb. 4, rechts) habe ihre Projektion im zweitŠu§ersten Ring von roten Rhomben im horizontalen Teller. Wir kšnnen also noch eine Runde weiterfahren (Abb. 5, links).

Das ist aber noch nicht das Ende der Fahnenstange.

Wir kšnnen eine Runde von senkrecht stehenden Rhomben einfŸgen (Abb. 5, mitte), die in der Projektion nicht mehr als Rhomben sichtbar sind. Da die Kanten dieser Rhomben gegenŸber der horizontalen TellerflŠche einen Winkel von 45¡ haben, sind sie Quadrate.

Abb. 5: €quator

Dieser Kranz von Quadraten spielt die Rolle des €quators. Weiter oben spitzt sich die Situation zu (Abb. 5, rechts, Abb. 6).

Abb. 6: Die Situation spitzt sich zu

Nach zwei weiteren Schritten sind wir bei einem geschlossenen Rhombenkšrper angelangt (Abb. 7, mitte).

Abb. 7: Rhombenkšrper. Kosinusspindel

Zum Vergleich ist (Abb. 7, rechts) die Kosinusspindel angegeben. Das ist die RotationsflŠche mit der Kosinuskurve zwischen zwei Nullstellen als Meridiankurve. Unser Rhombenkšrper ist eine Approximation der Kosinusspindel (vgl. Glaeser 2013, p. 38).

Im Beispiel der Abbildung 7, mitte, haben die Rhomben gegenŸber der Horizontalebene die Kantensteigung 1. Wir kšnnen auch mit anderen Kantensteigungen arbeiten. Im Beispiel der Abbildung 8 wurde mit der Kantensteigung ½ gearbeitet.

Abb. 8: Kantensteigung ½

1.3    Minimallšsung

In der Abbildung 2 wurde mit 14 Rhomben gestartet. Die Minimallšsung wŠre ein Start mit 3 Rhomben. Es sind dann 60¡-Rhomben, die an einer stumpfen Ecke zusammensto§en (Abb. 9, links). Bei einer Kantensteigung  erhalten wir den WŸrfel.

Abb. 9: Minimallšsung

Bei einer grš§eren Kantensteigung ergibt sich ein ãspitzesÒ Rhombenhexaeder (zwei diametrale Ecken mit nur spitzen Rhombenwinkeln, Abb. 10, links), ein einer kleineren Kantensteigung ein ãstumpfesÒ Rhombenhexaeder.

Abb. 10: Spitzes und stumpfes Rhombenhexaeder

1.4    Vier Rhomben im Zentrum

Wenn vier Rhomben im Zentrum zusammenkommen, sind es Quadrate (Abb. 11).

Abb. 11: Vier Rhomben im Zentrum

Mit der Kantensteigung  ergibt sich das Rhombendodekaeder (Abb. 12). Die Rhomben sind kongruent und haben das DiagonalenverhŠltnis  .

Abb. 12: Rhombendodekaeder

1.5    FŸnf Rhomben im Zentrum

1.5.1   Rhombenikosaeder

Bei fŸnf Rhomben im Zentrum kšnnen wir zum ersten Mal einen zweiten Kranz von Rhomben anfŸgen (Abb.13).

Abb. 13: FŸnf Rhomben im Zentrum

Bei einer Kantensteigung ½ ergeben sich kongruente Rhomben mit dem DiagonalenverhŠltnis im Goldenen Schnitt. Die Abbildung 14 zeigt die ersten beiden Schritte.

Abb. 14: Die ersten beiden Schritte

Wenn wir wie gewohnt weiterfahren, erhalten wir das Rhombenikosaeder (Abb. 15, 16).

Abb. 15: Rhombenikosaeder

Abb. 16: Rhombenikosaeder

1.5.2   Rhombentriakontaeder

Wir kšnnen aber auch nach zwei Runden eine Zone von zehn senkrecht stehenden Rhomben einbauen (Abb. 17, links) und dann zum Rhombentriakontaeder schlie§en. Da diese zehn Rhomben zur horizontalen Ebene senkrecht stehen, sind sie in der Projektion auf diese Ebene nicht sichtbar. Allerdings kšnnen wir nicht die beiden gewohnten Farben rot und blau verwenden.

Abb. 17: Rhombentriakontaeder

Die Abbildung 18 zeigt ein Papiermodell des Rhombentriakontaeders.

Abb. 18: Rhombentriakontaeder

Die Abbildung 19 zeigt eine andere ErgŠnzung der fŸnf zentralen Rhomben.

Abb. 19: ErgŠnzung zum Stern

Es handelt sich um die Projektion eines Sternkšrpers (Abb. 20).

Abb. 20: Sternkšrper

2     RegulŠre Rhombenkšrper

2.1    Kriterien

Wir legen folgende Kriterien fŸr regulŠre Rhombenkšrper fest:

á            Alle Seitenrhomben kongruent

á            Konvex

á            An den Ecken je gleiche Winkel. Da diese entweder alle spitz oder alle stumpf sind, sprechen wir von ãspitzenÒ beziehungsweise ãstumpfenÒ Ecken.

ZunŠchst einige Gegenbeispiele:

In den Figuren der Abbildungen 7 und 8 sind die Seitenrhomben nicht kongruent.

Der Sternkšrper (Abb. 19, 20) ist nicht konvex.

Im spitzen Rhombenhexaeder (Abb. 10, mitte) gibt es Ecken mit zwei stumpfen und einem spitzen Winkel. Im stumpfen Rhombenhexaeder ist es umgekehrt. Im Rhombenikosaeder (Abb. 15) gibt es Ecken mit vier spitzen und einem stumpfen Winkel.

2.2    Kopfgeometrie

Denken wir uns eine Ecke mit stumpfen Winkeln. Diese mŸssen mehr als 90¡ messen. Es kšnnen daher an einer konvexen Ecke hšchstens drei stumpfe Winkel zusammensto§en. Andererseits mŸssen an jeder Ecke mindestens drei Winkel zusammensto§en, damit eine rŠumliche Ecke entsteht. Somit haben wir an den Ecken mit stumpfen Winkeln genau drei stumpfe Winkel. Diese sind kleiner als 120¡.

Die spitzen Winkel sind daher grš§er als 60¡. An einer konvexen Ecke mit spitzen Winkeln kšnnen daher hšchstens fŸnf spitze Winkel zusammensto§en.

Somit gibt es nur Ecken, an denen drei oder vier oder fŸnf spitze Winkel zusammensto§en.

Man kann sogar zeigen (aufwŠndig, siehe Regulaere_Rhomboeder), dass an den Ecken eines regulŠren Rhombenkšrpers ausschlie§lich drei oder vier oder fŸnf spitze Winkel zusammensto§en. Die zugehšrigen Rhombenkšrper sind dann der WŸrfel, das Rhombendodekaeder und das Rhombentriakontaeder. Wir werden diese drei Figuren im Folgenden je ausfŸhrlich besprechen.

3     WŸrfel

Die rechten Winkel der Quadratseiten des WŸrfels kšnnen im Wechsel als GrenzfŠlle von spitzen beziehungsweise stumpfen Winkeln gesehen werden. Die Abbildung 21 zeigt die Netztopologie. Die roten Punkte markieren GrenzfŠlle von spitzen, die blauen Punkte GrenzfŠlle von stumpfen Ecken.

Abb. 21: Netztopologie des WŸrfels

Die Abbildung 22 zeigt ein Himmel-und-Hšlle-Modell des WŸrfels.

Abb. 22: Himmel und Hšlle

Der WŸrfel ist ein RaumfŸller. Man kann den Raum lŸckenlos und ohne †berlappung mit WŸrfeln auffŸllen.

4     Rhombendodekaeder

Das Rhombendodekaeder (Abb. 12) ist ebenfalls ein RaumfŸller (Abb. 23).

    

Abb. 23: Rhombendodekaeder als RaumfŸller

Um dies einzusehen, wŠhlen wir einen anderen Zugang zum Rhombendodekaeder. Wir beginnen mit einem WŸrfel (Abb. 24, links) und setzen eine halb so hohe Pyramide auf. Die Seitendreiecke der Pyramide haben einen Neigungswinkel 45¡. Entsprechend setzen wir auf den SeitenflŠchen Pyramiden auf.

Abb. 24: Pyramiden auf dem WŸrfel

Zwei an einer WŸrfelkante ansto§ende Seitendreiecke liegen in einer Ebene (Abb. 25, links). Sie bilden einen Rhombus mit dem DiagonalenverhŠltnis . Insgesamt erhalten wir somit die zwšlf Rhomben des Rhombendodekaeders.

Abb. 25: Rhombendodekaeder

FŸr den Nachweis der RaumfŸllungseigenschaft denken wir uns den Raum im Sinne eines dreidimensionalen Schachbrettes mit WŸrfelchen aufgefŸllt und die WŸrfelchen im Wechsel schwarz und wei§ gefŠrbt. Die schwarzen WŸrfelchen zerlegen wir von der Mitte aus in sechs Pyramiden, welche je eine SeitenflŠche des WŸrfelchens als Basis haben. Diese Pyramiden sind genau halb so hoch wie die WŸrfelchenkanten. Wir kleben nun die Pyramiden an die angrenzenden wei§en WŸrfelchen und erhalten so die Rhombendodekaeder.

Bei unserer Konstruktion haben die Rhombendodekaeder zuoberst eine spitze Ecke mit vier spitzen Rhombenwinkeln.

Die Abbildung 26a zeigt eine Packung von solchen Rhombendodekaedern. Die Inkugeln der Rhombendodekaeder bilden ihrerseits eine Kugelpackung. Es handelt sich dabei um die von Kepler vermutete und von Hales bewiesene dichteste Kugelpackung. In den obersten vier Lagen der Abbildung 26a sind die Rhombendodekaeder transparent gezeichnet, so dass die Kugelpackung sichtbar wird.

Die Abbildung 26b zeigt dieselbe Kugelpackung mit Glaskugeln. Das Bodenraster verhindert das Wegrollen der Kugeln. 

Bei dieser Kugelpackung handelt es sich um die dichteste Kugelpackung (Vermutung von Kepler 1611, Beweis von Hales 1998-2014).

Abb. 26a: Rhombendodekaeder und Inkugeln

Abb. 26b: Glaskugeln

Die Abbildung 26c zeigt eine Approximation einer Kugel durch Rhombendodekaeder.

Abb. 26c: Approximation einer Kugel durch Rhombendodekaeder

In der Abbildung 26d sind die Rhombendodekaeder durch ihre Inkugeln ersetzt.

Abb. 26d: Kugel durch Kugeln approximiert

Wir kšnnen den Raum auch so mit Rhombendodekaedern auffŸllen, dass jeweils eine stumpfe Ecke zuoberst ist (Abb. 27a).

Abb. 27a: Stumpfe Ecke nach oben

Die Abbildung 27b zeigt den Minimaltetraeder mit Orangen.

Abb. 27b: Minimaltetraeder

Die beiden Packungen sind bis auf die Raumorientierung dieselben. Beides sind die dichteste Kugelpackung.

Die Abbildung 28 zeigt die Netztopologie des Rhombendodekaeders.

Abb. 28: Netztopologie des Rhombendodekaeders

Da die Rhomben des Rhombendodekaeders das DiagonalenverhŠltnis  haben, lassen sie sich mittig in ein Papier im DIN-Format einpassen (Abb. 29). Wir kšnnen nun die vorstehenden Ecken hochbiegen und zwšlf solche Bauteile zu einem Rhombendodekaeder zusammentackern.

Abb. 29: Rhombendodekaeder aus Ansichtskarten

Die Abbildung 30 zeigt ein Himmel-und-Hšlle-Modell des Rhombendodekaeders.

Abb. 30: Himmel-und-Hšlle

5     Rhombentriakontaeder

Das Rhombentriakontaeder ist kein RaumfŸller. Hingegen kšnnen wir es in interessante Teilkšrper zerlegen.

ZunŠchst kšnnen wir die grŸn-gelbe, zickzackfšrmige €quatorzone (Abb. 17) entfernen und den Deckel parallel herunterschieben. Das wegfallende StŸck kann in fŸnf spitze und fŸnf stumpfe Rhombenhexaeder zerlegt werden. †brig bleibt ein Rhombenikosaeder (Abb. 15, 16). Dieses ist nicht regulŠr. Wir kšnnen auch beim Rhombenikosaeder eine Zone, bestehend aus 8 Rhomben, aber nicht mehr alternierend im Zick-Zack, entfernen und den Rest zusammenschieben. Dadurch fallen 8 Rhombenhexaeder weg, vier spitze und vier stumpfe. †brig bleibt das Rhombendodekaeder zweiter Art (Abb. 31a).

Abb. 31a: Rhombendodekaeder zweiter Art.

Das Rhombendodekaeder zweiter Art wurde von Bilinski (1960) beschrieben. Es ist nicht regulŠr, aber ein RaumfŸller (Abb. 31b).

 

Abb. 31b: RaumfŸller

Weglassen einer Zone mit 6 Rhomben fŸhrt je nachdem zu einem spitzen oder einem stumpfen Rhombenhexaeder.

6     KantenberŸhrkugel

Genau die regulŠren Rhombenkšrper haben eine KantenberŸhrkugel, also eine Kugel, welche sŠmtliche Kanten berŸhrt.

Beim WŸrfel ist es die Kantenmittenkugel (Abb. 32a).

Abb. 32: Kantenmittenkugel beim WŸrfel. SpielwŸrfel

Die Schnittfigur des WŸrfels mit seiner Kantenmittenkugel ist der SpielwŸrfel (Abb. 32b).

Die Abbildung 33 zeigt das Rhombendodekaeder mit der KantenberŸhrkugel sowie die Schnittfigur der beiden.

Abb. 33: Rhombendodekaeder und KantenberŸhrkugel

Die BerŸhrpunkte teilen die Kanten im VerhŠltnis 2:1.

Die Abbildung 34 schlie§lich zeigt das Rhombentriakontaeder mit der KantenberŸhrkugel.

Abb. 34: Rhombentriakontaeder und KantenberŸhrkugel

Die BerŸhrpunkte teilen die Kanten im VerhŠltnis . Dabei ist  der Goldene Schnitt (Walser 2013).

Der Nachweis, dass genau die regulŠren Rhombenkšrper eine KantenberŸhrkugel haben, ergibt sich aus der Abbildung 35.

Die Schnittkreise der Rhomben mit der KantenberŸhrkugel sind auch die Inkreise dieser Rhomben. Die Inkreise benachbarter Rhomben mŸssen sich aber berŸhren (Abb. 35a), damit sie zur selben Kugel gehšren kšnnen. Das hei§t, dass bei den Rhomben spitze Winkel auf spitze Winkel treffen mŸssen. Die Situation der Abbildung 35b ist ausgeschlossen. Somit haben wir es mit regulŠren Rhombenkšrpern zu tun.

Abb. 35: Kissing point

Literatur

Bilinski, Stanko (1960): †ber Rhombenisoeder. Glasnik mat.-fiz. i astr. 15, 1960, No. 4, S. 251-262.

Glaeser, Georg (2013): Nature and Numbers – a mathematical photo shooting. Ambra | V. Medecco Holding GmbH, Vienna. ISBN 978-3-99043-615-8.

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.

 

 

Websites

 

Walser, H.: Goldener Rhombus

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Goldener_Rhombus/Goldener_Rhombus.htm

 

Walser, H.: Kosinusspindel

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/K/Kosinusspindel/Kosinusspindel.htm

 

Walser, H.: Regulaere_Rhomboeder

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Regulaere_Rhomboeder/Regulaere_Rhomboeder.htm

 

Walser, H.: Rhomben

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rhomben/Rhomben.htm

 

Walser, H.: Rhombenfiguren

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Rhombenfiguren/Rhombenfiguren.htm