Hans Walser

 

 

Reuleaux-Zweiecke

 

Arbeitskreis SLA 1

Sa, 19. Nov. 2016, PH ZŸrich

 

Zusammenfassung: Analog zum Reuleaux-Dreieck, das sich in verschiedenen Positionen ins immer gleiche Quadrat einpassen lŠsst, gibt es Reuleaux-Zweiecke, die sich in ein gleichseitiges Dreieck einpassen lassen. Es werden zwei Beispiele vorgestellt sowie verschiedene Beweistechniken gezeigt: Rechnung, Einbinden in einen Ÿbergeordneten Zusammenhang, DualitŠt, Kinematik. Ein wichtiger Aspekt ist die Beschreibung von Kurven in verschiedenen zueinander bewegten Referenzsystemen. Schlie§lich wird eine Verallgemeinerung auf Reuleaux-Vierecke besprochen. Dabei treffen wir auch im allgemeinen Fall auf invariante symmetrische Figuren.

 

1     Das Reuleaux-Dreieck

Das Reuleaux-Dreieck (Reuleaux, 1875, S. 131f) besteht aus drei Kreisbogen Ÿber den Seiten eines gleichseitigen Dreieckes. Die Zentren der Kreisbogen sind die jeweils dritte Ecke des Dreiecks. Das Reuleaux-Dreieck ist ein ãGleichdickÒ (SchŸlerausdruck). Es hat in jeder Richtung den gleichen Durchmesser und lŠsst sich daher berŸhrend in einen Streifen oder ein Quadrat einpassen.

Reuleaux-Dreieck im Streifen und im Quadrat

Das Reuleaux-Dreieck hat Winkel von 120¡. Es kann daher die Quadratecken nicht erreichen.

Beschreibung: 010_1_Kunst.pdf

Bence Marafk— (H): Circle-Triangle in Circle 2, 2016, acrylic

2     Ein Reuleaux-Zweieck

Wir kšnnen zwei der drei Bogen des Reuleaux-Dreiecks zu einem Reuleaux-Zweieck zusammenfŸgen. Dieses Zweieck wurde von Honsberger (1973, S. 56-58) beschrieben.

Reuleaux-Zweieck mit 60¡-Winkel

Aus solchen Zweiecken lŠsst sich eine Figur mit Bifurkationen bauen so dass die Randlinien glatt ineinander Ÿbergehen. Die folgende Abbildung zeigt den ãGoldenen BaumÒ (Walser, 2013, S. 31).

Goldener Baum

Die folgende Abbildung zeigt dieses Reuleaux-Zweieck im gleichseitigen Dreieck in zwei speziellen und einer allgemeinen Lage.

Reuleaux-Zweieck im Dreieck

Das Reuleaux-Zweieck ist kein Gleichdick. Es hat zwei Winkel von 60¡ und kann daher die Ecken des Dreieckes gerade noch erreichen. Die SehnenlŠnge des Zweiecks  ist die Hšhe des Dreiecks.

3     Beweise fŸr die Einpass-Eigenschaft

3.1    Auf Heller und Pfennig

Wir arbeiten in der Disposition der folgendenAbbildung.

Abb. 3: Situation im Koordinatensystem

Das gleichseitige Dreieck ABC  hat die SeitenlŠnge 2 und die Hšhe . Diese Hšhe ist auch der Bogenradius und die SehnenlŠnge des Zweiecks. Der untere Bogen (Fischbauch) hat sein Zentrum im Ursprung C. Die Dreieckseiten AC und  BC haben die Gleichungen  beziehungsweise .

In der schrŠgen Situation sei nun  der BerŸhrungspunkt des unteren Bogens mit der Basislinie AB des Dreiecks. Der TrŠgerkreis dieses unteren Bogens hat daher den Mittelpunkt  und die Gleichung . Der Schnitt mit den Dreiecksseiten AC und BC liefert die Schnittpunkte:

 

                                                                  (1)

 

und

 

                                                             (2)

                                                                      

Daraus ergibt sich der Abstand . Wir kšnnen also genau unser Zweieck einpassen.

3.2    Visuell und kinematisch

Wir beginnen mit dem Zweieck in der speziellen Lage mit horizontaler Sehne.

Eine der fundamentalen Ideen in der Mathematik besteht darin, ein Problem in ein Ÿbergeordnetes einzubinden, worin die Lšsung sofort sichtbar wird. Daher binden wir das Dreieck mit dem Zweieck in spezieller Lage in ein regelmŠ§iges Sechseck ein gemŠ§ Abbildung. Jedes Zweieck liegt in ãseinemÒ Dreieck.

Nun drehen wir den Zweieck-Kranz um den Sechseckmittelpunkt um einen beliebigen Winkel (Abbildung fŸr den Drehwinkel 15¡). Jedes Zweieck ragt jetzt teilweise in das Nachbardreieck.

Startsituation und Verdrehung

Wir passen blaue gleichseitige StŸtzdreiecke ein. Nun kšnnen wir jedes einzelne Zweieck parallel zur berŸhrten Sechseckseite um die SeitenlŠnge der blauen StŸtzdreiecke zurŸckverschieben. Der Zweieck-Kranz wird aufgelšst.

StŸtzdreiecke und ZurŸckschieben

Jedes Zweieck ist nun wieder in ãseinemÒ Dreieck, aber in allgemeiner Lage.

4     Das 120¡-Zweieck

Die Abbildung zeigt das 120¡-Zweieck (Reuleaux, 1875, S. 120f).

120¡-Zweieck

Die folgenden Abbildungen zeigen die Einpassung ins gleichseitige Dreieck. Die Breite des Zweiecks und damit auch der Radius der Bšgen ist die halbe Dreieckshšhe.

Horizontale Lage

SchrŠge und senkrechte Lage

Wegen des 120¡-Winkels sind die Dreiecksecken nicht erreichbar.

5     Beweis der Einpass-Eigenschaft

Wir arbeiten wieder im Sixpack. Die blauen Punkte sind die Zentren der Au§enbšgen der Zweiecke. Wir drehen nun jedes Zweieck um je diesen blauen Punkt um je denselben Winkel. Dabei schleift je eine Spitze des einen Zweiecks auf dem Innenbogen des nachfolgenden Zweiecks.

Sixpack

Dies wird einsichtig durch den in der folgenden Figur eingezeichneten Rhombus, den man sich als Gelenkmodell vorstellen muss. Die nicht eingezeichnete Rhomben-Kante steht dabei senkrecht zur Trennlinie der beiden Hintergrunddreiecke. Die Tangente an das rechte Zweieck im BerŸhrungspunkt der beiden Zweiecke ist daher parallel zu dieser Trennlinie.

Beweglicher Rhombus

Die folgende Abbildung zeigt ein mechanisches Modell in Vorderansicht (Rhombus im Vordergrund) und RŸckansicht.

Mechanisches Modell

Wir kšnnen nun wiederum kleine gleichseitige Dreiecke einzeichnen und dann die Zweiecke zurŸckschieben.

ZurŸckschieben

6     DualitŠt

Wir zeichnen in das 120¡-Zweieck zusŠtzlich ein 60¡-Zweieck ein. Die Eckpunkte des einen Zweiecks sind nun die Zentren der Bšgen des anderen Zweiecks und umgekehrt.

Duale Zweiecke

In der Figur erkennen wir zusŠtzlich zwei Reuleaux-Dreiecke. Die Vereinigung (im Sinne der Mengensprache) der beiden Reuleaux-Dreiecke ist das 120¡-Zweieck, der Durchschnitt das 60¡-Zweieck.

Wir passen nun die Figur ins Dreieck ein. Dabei stellen wir fest, dass das 60¡-Zweieck offenbar ins Seitenmittendreieck des gro§en Dreiecks eingepasst ist. Um dies einzusehen, denken wir uns drei Streifen je zwischen einer Seite des gro§en Dreiecks und der dazu parallelen Seite des Seitenmittendreiecks. In jedem dieser Streifen funktioniert ein Reuleaux-Dreieck.

Dreieck und duales Dreieck

Aus der Einpass-Eigenschaft des 120¡-Zweiecks folgt daher die Einpass-Eigenschaft des dualen 60¡-Zweiecks und umgekehrt.

7     Ein Schnittpunkt

Drei Geraden verlaufen in der Regel nicht durch denselben Punkt. Wenn sie das trotzdem tun, ist das bemerkenswert. Klassische Beispiele im Schulunterricht sind die drei Schwerlinien, die drei Winkelhalbierenden, die drei Mittelsenkrechten der Seiten oder die drei Hšhen eines beliebigen Dreiecks. Es gibt aber im Zusammenhang mit einem Dreieck noch viele andere Schnittunkte von drei Geraden, vgl. (Walser, 2012).  

Wir nehmen nun eine allgemeine Lage des 120¡-Zweiecks im Dreieck und zeichnen in den BerŸhrpunkten die Normalen auf die Dreiecksseiten.

Schnittpunkt. Ort der Schnittpunkte relativ zum Dreieck

Wir stellen fest, dass die drei Normalen durch denselben Punkt verlaufen. FŸr den Nachweis der Schnittpunkteigenschaft benštigen wir eine kinematische †berlegung, vgl. (Honsberger, 1973, S. 62) und (Reuleaux, 1875, S. 119). Wenn sich eine Figur, welche eine andere berŸhrt, berŸhrend rotativ bewegen lŠsst, muss das momentane Drehzentrum auf der BerŸhrungsnormalen liegen. Daher mŸssen in unserem Beispiel sŠmtliche drei Normalen durch denselben Punkt, eben das momentane Drehzentrum, verlaufen.

Das momentane Drehzentrum ist variabel, es bewegt sich sowohl relativ zum Dreieck wie auch relativ zum 120¡-Zweieck.

Relativ zum Dreieck bewegt es sich auf einem Reuleaux-Dreieck.

Relativ zum 120¡-Zweieck bewegt es sich auf einem 120¡-Zweieck.

Ort der Schnittpunkte relativ zum Zweieck

8     Reuleaux-Zweiecke im gleichseitigen Dreieck

Im gleichseitigen Dreieck gibt es nur das 60¡-Zweieck und das 120¡-Zweieck so dass sie berŸhrend gedreht werden kšnnen. Allenfalls kann man noch das 180¡-Zweieck, den Inkreis also, dazu nehmen.

Reuleaux-Zweiecke im gleichseitigen Dreieck

FŸr den Ausschluss weiterer Bogen-Zweiecke verfahren wir wie folgt.

8.1    Disposition

Das Bogen-Zweieck habe den Bogenradius 1 und den Zentriwinkel  fŸr jeden der beiden Bšgen. Es gelten dann die in der Abbildung eingetragenen Beziehungen. 

Das Zweieck

An den beiden Ecken hat das Bogen-Zweieck dann die Innenwinkel . (Der Innenwinkel ergibt sich durch die Tangenten an die Kreisbšgen in der Ecke des Zweiecks.)

8.2    Fallunterscheidung

Wir unterscheiden folgende drei FŠlle bezŸglich des Winkels :

1.  (ãZahnstocherÒ)

2.  (ãmittleres ZweieckÒ)

3.  (ãdicke ZweieckeÒ)

Die Fallunterscheidungen sind nicht disjunkt, sondern haben gemeinsame Grenzen.

In jedem der drei FŠlle zeichnen wir das Bogen-Zweieck im Querformat und im Hochformat und umschreiben ein gleichseitiges Dreieck. Falls das zur Diskussion stehende Bogen-Zweieck sich in einem gleichseitigen Dreieck berŸhrend drehen lŠsst, mŸssen die beiden umbeschriebenen Dreiecke dieselbe Hšhe haben. Damit haben wir eine notwendige Bedingung fŸr die zulŠssigen Winkel .

8.2.1   Zahnstocher

Es ist also . Die Abbildung 2 zeigt das Beispiel fŸr .

Abb. 2: Zahnstocher. beta = 15¡

FŸr den Zahnstocher im Querformat erhalten wir die Dreieckshšhe:

 

                                                                                           (3)

 

FŸr den Zahnstocher im Hochformat erhalten wir die Dreieckhšhe:

 

                                                                                                               (4)

 

Die Bedingung  liefert die Gleichung:

 

                                                                                       (5)

 

Die Gleichung (5) hat im Intervall  die Lšsung:

 

                                                                                                                               (6)

 

Das ist die Rand-Lšsung.

8.2.2   Mittleres Zweieck

Es ist: . Die Abbildung 3 zeigt das Beispiel fŸr .

Abb. 3: beta = 45¡

Beim Bogen-Zweieck im Querformat ergibt sich die Dreieckshšhe wie bei (3):

 

                                                                                           (7)

 

FŸr das Hochformat berechnen wir zunŠchst die Hilfsgrš§e x:

 

                                                                                 (8)

 

Damit erhalten wir die Dreieckshšhe:

 

                                   (9)

 

Gleichsetzen der beiden Hšhen liefert:

 

                                                             (10)

 

Die Gleichung (10) hat im Intervall  die beiden Lšsungen:

 

                                                        und                                                 (11)

 

Das sind die beiden Rand-Lšsungen.

8.2.3   Dickes Zweieck

Es ist . Die Abbildung 4 zeigt das Beispiel fŸr .

Abb. 4: Dickes Zweieck. beta = 75¡

Beim Querformat erhalten wir die Dreieckshšhe:

 

                                                                           (12)

 

FŸr das Hochformat benštigen wir wiederum die Hilfsgrš§e (8) und erhalten die Dreieckshšhe wie bei (9):

 

                                 (13)

 

Gleichsetzen liefert:

 

                                                                           (14)

 

Die Gleichung (14) hat im Intervall  die beiden Rand-Lšsungen:

 

                                                        und                                                 (15)

 

Somit haben wir als einzige Lšsungen die Bogen-Zweiecke mit Innenwinkeln von 60¡, 120¡ und 180¡. Letzteres ist der Inkreis des Dreiecks. 

9     Selbstkontrolle

Die beiden Bšgen des Selbstkontrolle-Signets haben unterschiedliche KrŸmmungen. Der obere Bogen ist stŠrker gekrŸmmt.

Selbstkontrolle

10  Calissons de Provence

Franzšsisches Konfekt aus Aix-en-Provence.

Calissons de Provence

Die Form der Calissons ist ein Bogen-Zweieck mit einem nicht speziellen Winkel.

ãAllgemeinesÒ Zweieck

11  DualitŠt im allgemeinen Fall

11.1 Duale Zweiecke

Wir beginnen mit einem beliebigen Rhombus der SeitenlŠnge 1 und einem Winkel .

Nun zeichnen wir zwei duale Zweiecke ein gemŠ§ Abbildung. Der Winkel  des Rhombus ŸbertrŠgt sich (im Bogenma§) auf die SeitenlŠnge des Zweieckes.

Duale Zweiecke

Diese Figur hat einige bemerkenswerte Eigenschaften.

11.2 Gleichseitige Dreiecke

In die Situation der vier Rhomben-Ecken und der vier Schnittpunkte der beiden Zweiecke lassen sich gleichseitige Dreiecke einzeichnen.

Gleichseitige Dreiecke

Der Beweis ergibt sich aus folgendem. ZunŠchst haben wir ein offensichtlich gleichseitiges Dreieck (zyan), das wir in einen Sektorbogen umwandeln.

Dreieck und Sektor

Den Bogen kšnnen wir als Ortsbogen fŸr einen Winkel von 150¡ interpretieren. Dann ist alles klar.

Ortsbogen

11.3 Bogen-Viereck

Die Schnittfigur der beiden dualen Zweiecke ist ein Bogen-Viereck.

Bogen-Viereck

Es zeigt sich, dass dieses Bogenviereck eine von der Form des Ausgangsrhombus unabhŠngigen Umfang hat. Zur Berechnung der Seitenbogen-LŠngen ergŠnzen wir die Figur mit zwei Dreiecken (zyan). Diese Dreiecke sind gleichseitig. Der gro§e blaue Bogen hat daher die LŠnge . Da der rote Bogen die LŠnge  hat, bleibt fŸr den kurzen Bogen die LŠnge .

ErgŠnzung der Figur mit gleichseitigen Dreiecken

Dies ist aber auch die LŠnge eines langen Seitenbogens des Bogen-Viereckes.

BogenlŠnge im Bogen-Viereck

Entsprechend hat ein kurzer Seitenbogen des Bogen-Viereckes die LŠnge .

FŸr den Umfang des Bogen-Viereckes finden wir:

 

                                                         (16)

 

Wegen  (Winkel im Rhombus) erhalten wir den Umfang . Dies ist ein Drittel des Umfanges des Einheitskreises.

11.4 Einpassen ins Dreieck

Das Bogen-Viereck lŠsst sich ebenfalls auf verschiedene Arten in ein gleichseitiges Dreieck einpassen, so dass immer alle drei Dreiecksseiten berŸhrt werden. Der Beweis lŠuft im Prinzip analog wie bei den Zweiecken.

Einpassen ins Dreieck

11.5 Schnittpunkt

Und ebenfalls schneiden sich die BerŸhrungspunkt-Normalen in einem Punkt. Dies ist der momentane Drehpunkt.

Schnittpunkt

Wird das Bogen-Viereck im gleichseitigen Dreieck verdreht, bewegt sich der Schnittpunkt relativ zum Dreieck auf einer Kurve, welche dieselben Symmetrien hat wie das gleichseitige Dreieck.

Bewegung relativ zum Dreieck

Wenn wir das Bogen-Viereck festhalten und das Dreieck darum herum bewegen, ergibt sich fŸr den Schnittpunkt eine Kurve mit den Symmetrien des Bogen-Vierecks (Kleinsche Vierergruppe).

Relativ zum Bogen-Viereck

Dank

Der Autor dankt Renato Pandi fŸr viele Ideen und Anregungen.

 

Literatur

Honsberger, Ross (1973): Mathematical Gems. From Elementary Combinatorics, Number Theory, and Geometry. The Mathematical Association of America.

Reuleaux, Franz (1875): Lehrbuch der Kinematik. Erster Band: Theoretische Kinematik. Braunschweig: Vieweg.
e-Version: https://ia700409.us.archive.org/29/items/lehrbuchderkine01reulgoog/lehrbuchderkine01reulgoog.pdf

Walser, Hans (2012): 99 Schnittpunkte. Beispiele – Bilder – Beweise. 2. Auflage. EAGLE, Edition am Gutenbergplatz: Leipzig. ISBN 978-3-937219-95-0

Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Mit einem Beitrag von Hans Wu§ing Ÿber populŠrwissenschaftliche Mathematikliteratur aus Leipzig. Leipzig: EAGLE, Edition am Gutenbergplatz. ISBN 978-3-937219-85-1.

 

Websites

Abgerufen 2. Mai 2016

Delta-Bogenvielecke

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Delta-Bogenvielecke/Delta-Bogenvielecke.htm

Delta-Kurven-Umfang

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/D/Delta-Kurven-Umfang/Delta-Kurven-Umfang.htm

Gleichdick

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Gleichdick/Gleichdick.htm

Gleichdick mit Kartoffeln

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Gleichdick_Kartoffeln/Gleichdick_Kartoffeln.htm

Gleichdick mit Zykloiden

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/G/Gleichdick_Zykloide/Gleichdick_Zykloide.htm

Reuleaux-Dreiecke

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Reuleaux/Reuleaux.htm

Reuleaux-Dreieck, der Goldene Schnitt und das DIN-Format

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Reuleaux_GS_DIN/Reuleaux_GS_DIN.htm

Reuleaux-Dreieck, Tetraeder und Seifenblasen

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Reuleaux1/Reuleaux1.htm

Reuleaux-Dreieck-Triangulation

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Reuleaux2/Reuleaux2.htm

Reuleaux-Zweieck

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Reuleaux_120_Beweis/Reuleaux_120_Beweis.htm

Reuleaux-Zweiecke

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Reuleaux-Zweieck/Reuleaux-Zweieck.htm

Reuleaux-Zweiecke

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Reuleaux_60_2/Reuleaux_60_2.htm

Reuleaux-Zweiecke

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Reuleaux_Zweiecke/Reuleaux_Zweiecke.htm

Reuleaux-Zweiecke

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Reuleaux-Zweiecke2/Reuleaux-Zweiecke2.htm

Schnittpunkte

www.walser-h-m.ch/hans/Schnittpunkte/

Spiel mit Reuleaux-Dreiecken

www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/R/Reuleaux2/Reuleaux2.htm