Hans Walser, [20070901a]
Zyklische Fibonacci-Folgen
Anregung: [Weihmann
1996]
In [Weihmann 1996, S. 5] wird gezeigt, dass die in definierte Rekursion
stets einen
Zwšlfer-Zyklus ergibt. Mit den allgemeinen Startwerten und gilt nŠmlich:
z[0] = p + I*q
z[1] = r + I*s
z[2] = p + I*q + I*r - s
z[3] = I*p - q
z[4] = I*r - s
z[5] = I*p - q - r - I*s
z[6] = - p - I*q
z[7] = - r - I*s
z[8] = s - I*q - I*r - p
z[9] = q - I*p
z[10] = s - I*r
z[11] = q - I*p + r + I*s
z[12] = p + I*q
z[13] = r + I*s
So erhalten wir etwa
mit den Startwerten und in der Gau§schen
Zahlenebene die folgende Figur:
Zyklische Figur
Die Punkte liegen offenbar alternierend auf zwei Ellipsen.
Wir kšnnen dieses Beispiel auf beliebige geradzahlige ZyklenlŠngen verallgemeinern.
Es sei , und . Dann fŸhrt die reelle Rekursion
bei beliebigen
Startwerten zu einer Folge mit der ZyklenlŠnge n.
Beweis:
FŸr die n-ten Einheitswurzeln gilt:
Dies kann durch
Einsetzen verifiziert werden:
Die Rekursion liefert also mit
den Startwerten und genau die n-ten Einheitswurzeln . Die Folge ist zyklisch mit der ZyklenlŠnge n; und in der Gau§schen Ebene erhalten wir das
regulŠre n-Eck.
Zu zwei beliebigen
Startwerten und verwenden wir
nun die affine Abbildung mit dem Fixpunkt
im Ursprung, welche durch und definiert ist.
Da die Rekursion affin invariant
ist, erhalten wir:
Die Folge ist also ebenfalls zyklisch mit der ZyklenlŠnge n. Die Punkte bilden in der Gau§schen Ebene ein affin-regulŠres n-Eck (affines Bild eines regulŠren n-Eckes).
Die Rekursion ist reell; mit
reellen Startwerten erhalten wir eine reelle zyklische Folge.
Mit den Startwerten und ist die affine
Abbildung durch folgende
Matrix gegeben:
Das affine Bild des
Einheitskreises wird zur Au§enellipse des affin-regulŠren n-Eckes. Diese Ellipse hat die Parameterdarstellung:
FŸr ist und . Wir haben also die Rekursion:
Mit den allgemeinen
Startwerten und gilt:
a[0] = p + I*q
a[1] = r + I*s
a[2] = r - I*q - p + I*s
a[3] = - p - I*q
a[4] = - r - I*s
a[5] = p + I*q - r - I*s
a[6] = p + I*q
a[7] = r + I*s
Insbesondere erhalten
wir mit den Startwerten und in der Gau§schen
Zahlenebene die folgende Figur:
Affin-regulŠres Sechseck
Zu , sei nun ; es ist also . Dann fŸhrt die in definierte Rekursion
bei beliebigen
Startwerten zu einer Folge mit der ZyklenlŠnge 2n.
Beweis:
Wir berechnen in AbhŠngigkeit
von und . ZunŠchst ist:
Aus der Rekursion ergibt sich:
Wir setzen dies oben
ein und erhalten:
Nun ist aber:
Somit haben wir bei
SchrittlŠnge 2 die reelle Rekursion:
Das entspricht aber der
oben besprochenen Rekursion . Daher sind die Teilfolgen (gerade Indizes)
und (ungerade
Indizes) je zyklisch mit der ZyklenlŠnge n.
In der Gau§schen Ebene bilden sie je ein affin-regulŠres n-Eck und liegen auf einer Ellipse.
Die Gesamtfolge ist zyklisch mit
der ZyklenlŠnge 2n.
FŸr ist . Wir erhalten die in [Weihmann 1996] und im Eingangsbeispiel
besprochene Rekursion .
FŸr und die
Startwerte und erhalten wir:
n = 7
Die Punkte liegen
abwechslungsweise auf zwei Ellipsen; die Figur hat aber keine Symmetrien.
Die Beispiele zeigen,
dass diese beiden Ellipsen immer kongruent und um verdreht sind.
Dies konnte ich bis jetzt nicht beweisen.
Literatur
[Weihmann 1996] Weihmann, Christopher: Fibonacci-Folgen im komplexen Zahlbereich. Mathematisch-physikalische Korrespondenz, Nr. 187, Weihnachten 1996, S. 3-26