Hans Walser, [20180925]

Zwei Folgen

1 Worum geht es?

Zwei gekoppelte Folgen von Rechtecken und zugehörige Zahlenfolgen.

Variante von [1].

2 Flächengleiche Rechtecke anfügen

Die Abbildung 1 zeigt die Entstehung einer Doppelfolge von flächengleichen Rechtecken. Die beiden ersten Rechtecke sind Quadrate.

Abb. 1: Folgen flächengleicher Rechtecke

Die Abbildung 2 zeigt ein ausführlicheres Beispiel.

Abb. 2: Ausführliches Beispiel

3 Zahlenfolgen

Der Figur ordnen wir zwei Zahlenfolgen x_n und y_n zu gemäß Abbildung 3. Dabei verwenden wir die Startwerte:

(1)

Abb. 3: Zahlenfolgen

Aus der Bedingung der Flächengleichheit (alle Rechtecke haben den Flächeninhalt 1) folgt:

(2)

Analog:

(3)

Man beachte die Asymmetrie der Indizes zwischen (2) und (3).

Die zusammengesetzten Rechtecke mit der linken unteren Ecke im Ursprung und der rechten oberen Ecke im Punkt mit den Koordinaten enthalten 2n Rechtecke mit dem Flächeninhalt 1 und haben somit den Flächeninhalt 2n. Daher ist:

(4)

Damit können wir y_n in (2) eliminieren und erhalten die Rekursion:

(5)

Mit dem Startwert x₁ = 1 ergibt sich:

(6)

Die Tabelle 1 gibt die ersten Werte, wie sie aus dem Computer kommen.

n
1	1
2
3
4
5
6

Tab. 1: Werte

4 Analyse der Zahlenfolge

Leider wird man in der Schule angehalten, Brüche vollständig zu kürzen. Dies ist nicht immer sinnvoll. Die Tabelle 2 enthält dieselben Werte wie die Tabelle 1, aber in zusätzlichen Spalten teilweise weniger gekürzt und faktorisiert.

n
1	1
2
3
4
5
6

Tab. 2: Werte in anderer Schreibweise

Wir stellen Regelmäßigkeiten fest.

In der zweiten Wertspalte sind die Zähler bei den Brüchen die natürlichen Zahlen n und die Nenner die geometrische Folge .

In der dritten Wertspalte sind die Zähler die ungeraden Zahlen 2n – 1 und die Nenner die geometrische Folge .

Und was hat der Zahlenerkennungsdienst zur Zahlenfolge , 1, 3, 10, 35, 126, 462, ... zu sagen? Diese Zahlen erscheinen in beiden Spalten als Faktoren, allerdings versetzt.

Diese Zahlen, zunächst ohne das führende , erscheinen auch im Pascalschen Dreieck der Binomialkoeffizienten (grün unterlegt in Abb. 4).

Abb. 4: Binomialkoeffizienten

Somit erhalten wir zwei weitere Darstellungen der Folge x_n:

(7)

Und:

(8)

Die unterschiedliche Indizierung der Binomialkoeffizienten zwischen (7) und (8) rührt von der versetzten Position in der Tabelle 2 her.

Die Formel (8) funktioniert für n = 1 zunächst nicht. Wir erhalten den Binomialkoeffizienten . Um das doch hinzubringen, erweitern wir das Pascalsche Dreieck der Binomialkoeffizienten gemäß Abbildung 5. In den weißen Feldern stehen Nullen. Man beachte, dass die übliche Rekursionsformel für die Binomialkoeffizienten immer noch spielt.

Abb. 5: Binomialkoeffizienten erweitert

Dir Formeln (7) und (8) können mit (5) und der Tabelle 2 induktiv bewiesen werden.

5 Grenzform

Die Abbildungen (1) und (2) lassen vermuten, dass die zusammengesetzten Rechtecke mit der linken unteren Ecke im Ursprung und der rechten oberen Ecke im Punkt mit den Koordinaten sich einem Rechteck mit konstantem Seitenverhältnis annähert, dass also konvergiert.

Wegen (4) ist:

(9)

Weiter vermuten wir, dass die zusammengesetzten Rechtecke mit der linken unteren Ecke im Ursprung und der rechten oberen Ecke im Punkt mit den Koordinaten sich einem Rechteck mit demselben konstantem Seitenverhältnis annähert, dass also konvergiert und denselben Grenzwert hat. Wegen (4) ist: