Hans Walser, [20200603]

y' = cos(y)

Ich wei§, man sollte nie eine Formel als Titel verwenden.

1     Worum geht es?

Herleitung und Illustration der Differentialgleichung:

 

                                                                                                                 (1)

 

 

 

2     Nord-Ost auf der Plattkarte

Auf der Plattkarte (Abb. 1) ist das Richtungsfeld Nord-Ost eingezeichnet.

Abb. 1: Nord-Ost

Da – mit Ausnahme des €quators – die West-Ost-Verzerrung grš§er ist als die SŸd-Nord-Verzerrung, schlie§en die Richtungspfeile mit den Breitenkreisen Winkel  ein, die kleiner als 45¡ sind. Auf der geografischen Breite  haben wir fŸr die Nord-Ost-Richtung den Winkel:

 

                                                                                                     (2)

 

 

 

Die Richtungspfeile haben also die Steigung .

 

3     Differentialgleichung

Aus (2) ergibt sich fŸr das Richtungsfeld der Abbildung 1 die Differentialgleichung (1). Die Abbildung 2 zeigt eine Lšsungskurve.

Abb. 2: Lšsungskurve

Die eingezeichnete Lšsungskurve hat die Gleichung:

 

                                                                                    (3)

 

 

 

Nachweis:

Aus (3) ergibt sich durch Ableiten:

 

                                  (4)

 

 

 

Wegen

 

                                                                                                     (5)

 

 

 

 

ist andererseits:

 

      (6)

 

 

 

 

Aus (4) und (6) folgt die GŸltigkeit der Lšsung (3).

4     Vergleich mit der arctan-Kurve

Der Autor hat zunŠchst die arctan-Kurve als Lšsungskurve vermutet und war Ÿber das Auftreten der inneren sinh-Funktion etwas erstaunt.

Die Abbildung 3 zeigt den Vergleich. Die Lšsungskurve (3) ist blau, die arctan-Kurve rot gezeichnet. Die blaue Lšsungskurve geht viel rascher an die Asymptote heran. Das hŠngt damit zusammen, dass die sinh-Funktion im Wesentlichen exponentiell wŠchst.

Abb. 3: Vergleich

Die Abbildung 4 zeigt einen grš§eren Ausschnitt.

Abb. 4: Grš§erer Ausschnitt