Hans Walser, [20190101]
Wurzelspiralen
Die klassische Wurzelspurale wird etwas verŠndert. Dann wird es lustig.
PhŠnomene zum Teil ohne Beweise. Bilder und Zahlen.
Die Abbildung 1 zeigt den Beginn der klassischen Wurzelspirale. Sie besteht aus einer Folge von rechtwinkligen Dreiecken, deren kurze Katheten (die Sehnen der Spirale) die konstante LŠnge 1 haben und deren lange Katheten (die Speichen der Spirale) der Reihe nach die LŠngen .
Abb. 1: Klassische Wurzelspirale
Die klassische Wurzelspirale nŠhert sich einer archimedischen Spirale an (Walser 2004) (Abb. 2 mit 100 Dreiecken).
Abb. 2: AnnŠherung an eine archimedische Spirale
Wir ersetzen den rechten Winkel durch einen beliebigen, aber konstanten Winkel . Die SpeichenlŠngen belassen wir auf . Das hat natźrlich zur Folge, dass die SehnenlŠngen nicht mehr konstant sind. Sondern interessant.
Das Problem ist uferlos. Wir beschrŠnken uns auf den Fall .
Die Abbildung 1 zeigt die ersten vier Dreiecke. Die SehnenlŠngen sind nicht konstant, sondern monoton wachsend. Sie bilden aber keine geometrische Folge. Die Berechnung der SehnenlŠngen folgt im nŠchsten Abschnitt.
Abb. 3: Die ersten vier Dreiecke
Die Abbildung 4 zeigt das Beispiel mit den ersten 120 Dreiecken.
Abb. 4: Die ersten 120 Dreiecke
Wir verwenden die Bezeichnungen der Abbildung 5.
Abb. 5: Bezeichnungen
Aus dem Sinussatz folgt:
(1)
Weiter ist:
(2)
Aus dem Sinussatz folgt weiter:
(3)
Aus (1) erhalten wir:
(4)
Damit erhalten wir aus (1) und (3):
(5)
Die Tabelle 1 gibt einige numerische Werte. Fźr negative n werden die Werte zunŠchst komplex und dann rein imaginŠr.
n |
SehnenlŠnge |
Bemerkungen |
–8 |
2.414213562i |
|
–7 |
2.188901060i |
|
–6 |
1.931851653i |
|
–5 |
1.618033988i |
|
–4 |
i |
ImaginŠre Einheit |
–3 |
0.5 + 0.8660254040i |
Argument 60ˇ |
–2 |
0.7071067810 + 0.7071067810i |
Argument 45ˇ |
–1 |
0.8660254040 + 0.5i |
Argument 30ˇ |
0 |
1 |
Einheit |
1 |
1.618033988 |
Goldener Schnitt |
2 |
1.931851653 |
|
3 |
2.188901060 |
|
4 |
2.414213562 |
|
Tab. 1: Numerische Werte
Die Abbildung 6 zeigt die Situation in der Gau§schen Ebene. Die Zahlen n sind rot angegeben.
Abb. 6: In der Gau§schen Ebene
GemŠ§ (5) ist:
(6)
Dies ist der goldene Schnitt (Walser 2013).
Weiter ist:
(7)
Wir vermuten, dass die Folge der Potenzen des goldenen Schnittes eine Teilfolge der Sehnenfolge ist.
Ein Feldversuch lŠsst folgendes vermuten: Wir definieren die Folge wie folgt:
(8)
Die Tabelle 2 gibt die ersten Werte.
m |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
1 |
5 |
16 |
45 |
121 |
320 |
841 |
2205 |
5776 |
15125 |
Tab. 2: Erste Werte
Es handelt sich um die Folge A004146 der OEIS.
Dann ist:
(9)
GemŠ§ (5) ist:
(10)
Weiter ist aber:
(11)
Wir vermuten, dass die Folge der Potenzen von eine Teilfolge der Sehnenfolge ist. Ein Feldversuch lŠsst folgendes vermuten: Wir definieren die Folge wie folgt:
(12)
Die Tabelle 3 gibt die ersten Werte.
m |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
2 |
12 |
50 |
192 |
722 |
2700 |
10082 |
37632 |
140450 |
524172 |
Tab. 3: Erste Werte
Es ist dann:
(13)
Und noch ein Beispiel:
GemŠ§ (5) ist:
(14)
Weiter ist aber:
(15)
Wir vermuten, dass die Folge der Potenzen von eine Teilfolge der Sehnenfolge ist. Ein Feldversuch lŠsst folgendes vermuten: Wir definieren die Folge wie folgt:
(16)
Die Tabelle 4 gibt die ersten Werte.
m |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
|
3 |
21 |
108 |
525 |
2523 |
12096 |
57963 |
277725 |
1330668 |
6375621 |
Tab. 4: Erste Werte
Es ist dann:
(17)
Allgemein geht die Sache so: Zu gegebenem n definieren wir die Folge wie folgt:
(18)
Dann ist:
(19)
Die Tabelle 5 gibt den Anfang der unendlichen Matrix . Wir erkennen in den ersten Zeilen die Werte der Tabellen 1 bis 3.
1 |
5 |
16 |
45 |
121 |
320 |
841 |
2205 |
5776 |
15125 |
2 |
12 |
50 |
192 |
722 |
2700 |
10082 |
37632 |
140450 |
524172 |
3 |
21 |
108 |
525 |
2523 |
12096 |
57963 |
277725 |
1330668 |
6375621 |
4 |
32 |
196 |
1152 |
6724 |
39200 |
228484 |
1331712 |
7761796 |
45239072 |
5 |
45 |
320 |
2205 |
15125 |
103680 |
710645 |
4870845 |
33385280 |
228826125 |
6 |
60 |
486 |
3840 |
30246 |
238140 |
1874886 |
14760960 |
116212806 |
914941500 |
7 |
77 |
700 |
6237 |
55447 |
492800 |
4379767 |
38925117 |
345946300 |
3074591597 |
8 |
96 |
968 |
9600 |
95048 |
940896 |
9313928 |
92198400 |
912670088 |
9034502496 |
9 |
117 |
1296 |
14157 |
154449 |
1684800 |
18378369 |
200477277 |
2186871696 |
23855111397 |
10 |
140 |
1690 |
20160 |
240250 |
2862860 |
34114090 |
406506240 |
4843960810 |
57721023500 |
Tab. 5: Matrix
Wir dividieren in der Tabelle 4 die EintrŠge in den Spalten mit ungeraden Spaltennummern durch die entsprechenden EintrŠge der ersten Spalte und die EintrŠge in den Spalten mit geraden Spaltennummern durch die EintrŠge in der zweiten Spalte (Tab. 6).
1 |
1 |
16 |
9 |
121 |
64 |
841 |
441 |
5776 |
3025 |
1 |
1 |
25 |
16 |
361 |
225 |
5041 |
3136 |
70225 |
43681 |
1 |
1 |
36 |
25 |
841 |
576 |
19321 |
13225 |
443556 |
303601 |
1 |
1 |
49 |
36 |
1681 |
1225 |
57121 |
41616 |
1940449 |
1413721 |
1 |
1 |
64 |
49 |
3025 |
2304 |
142129 |
108241 |
6677056 |
5085025 |
1 |
1 |
81 |
64 |
5041 |
3969 |
312481 |
246016 |
19368801 |
15249025 |
1 |
1 |
100 |
81 |
7921 |
6400 |
625681 |
505521 |
49420900 |
39929761 |
1 |
1 |
121 |
100 |
11881 |
9801 |
1164241 |
960400 |
114083761 |
94109401 |
1 |
1 |
144 |
121 |
17161 |
14400 |
2042041 |
1713481 |
242985744 |
203889841 |
1 |
1 |
169 |
144 |
24025 |
20449 |
3411409 |
2903616 |
484396081 |
412293025 |
Tab. 6: Quotienten
Wir erhalten ausschlie§lich Quadratzahlen. Die Tabelle 7 gibt die zugehšrigen Wurzeln.
1 |
1 |
4 |
3 |
11 |
8 |
29 |
21 |
76 |
55 |
1 |
1 |
5 |
4 |
19 |
15 |
71 |
56 |
265 |
209 |
1 |
1 |
6 |
5 |
29 |
24 |
139 |
115 |
666 |
551 |
1 |
1 |
7 |
6 |
41 |
35 |
239 |
204 |
1393 |
1189 |
1 |
1 |
8 |
7 |
55 |
48 |
377 |
329 |
2584 |
2255 |
1 |
1 |
9 |
8 |
71 |
63 |
559 |
496 |
4401 |
3905 |
1 |
1 |
10 |
9 |
89 |
80 |
791 |
711 |
7030 |
6319 |
1 |
1 |
11 |
10 |
109 |
99 |
1079 |
980 |
10681 |
9701 |
1 |
1 |
12 |
11 |
131 |
120 |
1429 |
1309 |
15588 |
14279 |
1 |
1 |
13 |
12 |
155 |
143 |
1847 |
1704 |
22009 |
20305 |
Tab. 7: Wurzeln
Die in der ersten Zeile gelb unterlegten Zahlen 1, 4, 11, 29, 76, ... sind eine Auswahl aus den Lucas-Zahlen 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, ... . Die blau unterlegten Zahlen 1, 3, 8, 21, 55, ... sind eine Auswahl aus den Fibonacci-Zahlen. Die mit gleicher Farbe unterlegten Zahlen haben je die Rekursion:
(20)
In der zweiten Zeile haben die mit gleicher Farbe unterlegten Zahlen je die Rekursion:
(21)
Und so weiter.
Weiter ist jede gelbe Zahl die Summe der beiden links und rechts benachbarten blauen Zahlen.
In der ersten Zeile ist jede blaue Zahl ein Fźnftel der Summe der beiden benachbarten gelben Zahlen. In der zweiten Zeile ist jede blaue Zahl ein Sechstel der Summe der beiden benachbarten gelben Zahlen. In der dritten Zeile ist jede blaue Zahl ein Siebtel der Summe der beiden benachbarten gelben Zahlen. Und so weiter.
Literatur
Walser, Hans (2004): Pythagoras, eine archimedische Spirale und eine Approximation von ą. Praxis der Mathematik (6/46), 2004, S. 287-288.
Walser, Hans (2013): Der Goldene Schnitt. 6., bearbeitete und erweiterte Auflage. Edition am Gutenbergplatz, Leipzig. ISBN 978-3-937219-85-1.
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