Hans Walser, [20090509a]
Wurzeln aus Matrizen
Zu einer gegebenen
2,2-Matrix A suchen wir 2,2-Matrizen B mit der Eigenschaft: . Wir suchen also Quadratwurzeln der Matrix A.
Wenn wir eine
quadratische 2,2-Matrix B mit den
Eigenwerten und
Eigenvektoren quadrieren,
erhalten wir eine Matrix mit denselben Eigenvektoren und den Eigenwerten .
Beweis: Aus ergibt sich: .
Wir gehen davon aus,
dass die Matrix A zwei verschiedene
Eigenwerte und hat. (Der Fall ist recht
kompliziert.) Dazu gehšren die
Eigenvektoren und . Um eine Matrix B
mit zu finden,
bestimmen wir deren Eigenwerte aus . Man beachte, dass es hier vier verschiedene
Vorzeichenkombinationen geben kann. Dann bestimmen wir B aus den Eigenwerten und den
Eigenvektoren .
Wir bearbeiten die
Matrix A:
Die charakteristische Gleichung fŸr die Eigenwerte ist . Daraus erhalten wir und damit die Eigenwerte und . Zum Eigenwert muss ein Eigenvektor die folgende Bedingung erfŸllen:
Eine mšgliche Lšsung
ist:
Analog finden wir fŸr eine mšgliche
Lšsung:
Die gesuchte Wurzelmatrix B hat also die Eigenwerte und . Es gibt vier Vorzeichenkombinationen. Wir bearbeiten exemplarisch den Fall plus-plus, also und . Die Eigenvektoren sind dieselben wie die der Matrix A.
FŸr die Matrix B machen wir den Ansatz:
Damit muss gelten: und .
und
FŸr das
Gleichungssystem
ergibt sich die Lšsung:
, also die Matrix B:
U sei die Matrix mit den Spaltenvektoren und . Dann gilt:
Hintergrund: Die Matrix
bringt die Eigenvektoren auf die Koordinatenachsen.
Dann wird in Richtung der beiden Koordinatenachsen mit beziehungsweise gestreckt. Die Matrix U schlie§lich bringt die gestreckten Vektoren wieder in
die Richtung der ursprŸnglichen Eigenvektoren. Die Zusammensetzung ist aber
genau das, was die Matrix B
bewirken soll.
In der folgenden Figur haben wir ein grŸnes Urbild. Magenta ist das Bild bei der linearen Abbildung mit der Matrix B, rot das Bild bei der linearen Abbildung mit der Matrix . Blau sind die Geraden in den Richtungen der Eigenvektoren eingezeichnet.
Urbild, Zwischenbild und
Bild
Das folgende
MuPAD-Programm liefert alle vier Vorzeichenkombinationen bei den Eigenwerten
von B.
Matr:= Dom::Matrix(): // Eigenwerte und Eigenvektoren A
A := Matr([[12, 6], [-4, 1]]);
B := Matr([[a, b], [c, d]]):
EA := linalg::eigenvectors(A);
u:=j->EA[j][3][1]:
lambda:=j->EA[j][1]:
for p from 0 to 1 do // Vorzeichenkombinationen
for q from 0 to 1 do
mu[p,q,1]:=(-1)^p*sqrt(lambda(1)):
mu[p,q,2]:=(-1)^q*sqrt(lambda(2)):
end_for:
end_for:
Gleichung:=(p,q)->{(((B*u(j))[i]=mu[p,q,j]*u(j)[i])$j=1..2)$i=1..2}:
for p from 0 to 1 do // Berechnen der Matrix B
for q from 0 to 1 do
s:=solve(Gleichung(p,q), {a,b,c,d}):
B1:=Matr([[s[1][1][2],
s[1][2][2]], [s[1][3][2], s[1][4][2]]]):
print(Typeset, B1):
end_for:
end_for:
Zur Matrix A
erhalten wir die
Eigenwerte mit Vielfachheit und die Eigenvektoren
und der Reihe nach die
zu den verschiedenen Vorzeichenkombinationen passenden Lšsungen:
Matr:= Dom::Matrix(): // Eigenwerte und Eigenvektoren A
A := Matr([[12, 6], [-4, 1]]);
EA := linalg::eigenvectors(A):
u:=j->EA[j][3][1]:
lambda:=j->EA[j][1]:
U:=Matr([[EA[1][3][1][1], EA[2][3][1][1]],
[EA[1][3][1][2],
EA[2][3][1][2]]]);
for p from 0 to 1 do // Vorzeichenkombinationen
for q from 0 to 1 do
mu[p,q,1]:=(-1)^p*sqrt(lambda(1)):
mu[p,q,2]:=(-1)^q*sqrt(lambda(2)):
end_for:
end_for:
for p from 0 to 1 do // Berechnen der Matrix B
for q from 0 to 1 do
Di:=Matr([[mu[p,q,1],
0], [0, mu[p,q,2]]]):
B:=U*Di*U^(-1):
print(Typeset, B):
end_for:
end_for:
Zur Matrix A
erhalten wir die Matrix
U aus den Eigenvektoren
und der Reihe nach die
zu den verschiedenen Vorzeichenkombinationen passenden Lšsungen:
Im Folgenden zu jeder
Lšsung die Abbildungen:
Erste Lšsung
Zweite Lšsung
Dritte Lšsung
Vierte Lšsung
Die magenta
Zwischenbilder sehen unterschiedlich aus. In der ersten und vierten Lšsung sind
sie gleich orientiert (Locke beachten) wie das Urbild und das Endbild, in der
zweiten und dritten Lšsung sind sie entgegengesetzt orientiert.
Als interessantes
Beispiel behandeln wir die Drehmatrix A:
Aus geometrischen
GrŸnden ist die Drehung um den halben Winkel sicher eine Lšsung:
FŸr die Matrix U der Eigenvektoren liefert MuPAD:
MuPAD liefert als erste
Lšsung:
Dies ist tatsŠchlich
die aus geometrischen GrŸnden gefundene Lšsung, es genŸgt, die erste Zeile zu
kontrollieren:
MuPAD liefert als
zweite Lšsung:
Diese Matrix kann
umgeformt werden zu:
Kontrolle:
Die dritte Lšsung sieht
so aus:
Diese Matrix kann
umgeformt werden zu:
FŸr die vierte Lšsung
liefert MuPAD:
Diese Matrix kann
umgeformt werden zu:
Es ist:
Damit ist es aus geometrischen
GrŸnden klar, dass es sich um eine Wurzel der Drehmatrix handelt.