Hans Walser, [20191204]

WŸrfeltransformation

Anregung: Boris Odehnal, Wien

1     Worum geht es?

Manipulation am WŸrfel. Wir erhalten das regulŠre Dodekaeder, das Rhombendodekaeder, den Kemper-Stern und den Ikosaeder-Stern.

2     WŸrfel und Ebenen

2.1    Drehsinn der WŸrfelkanten

Wir versehen die Kanten eines WŸrfels mit einem Drehsinn gemŠ§ Abbildung 1.

Abb. 1: Drehsinn der WŸrfelkanten

Ist der Drehsinn konsistent?

Wie kann die Drehung mit ZahnrŠdern (KegelrŠdern) realisiert werden? (Tipp: diagonalen).

Die Abbildung 2 zeigt die zugehšrigen Drehvektoren. Die Pfeilspitzen liegen in den Ecken eines einbeschriebenen Tetraeders.

Abb. 2: Drehvektoren

2.2    Ebenen

Wir bringen nun an jeder WŸrfelkante ein Rechteck in Form eines halben Quadrates an (Abb. 3), so dass die Rechtecke auf der WŸrfeloberflŠche liegen. Wir erhalten ein unregelmŠ§iges Dodekaeder.

Abb. 3: Halbe Quadrate

2.3    Drehen der Ebenen

Nun drehen wir die Ebenen der halben Quadrate je um die zugehšrige WŸrfelkante im Drehsinn der Abbildungen 1 und 2 um denselben Winkel. Die Abbildung 4 zeigt die entstehende Schnittfigur.

Abb. 4: Drehen und Verschneiden

Es entsteht ein unregelmŠ§iges Dodekaeder.

Wenn wir weiterdrehen, ergibt sich ein regelmŠ§iges Dodekaeder (Abb. 5).

Abb. 5: RegelmŠ§iges Dodekaeder

Die Abbildung 6 zeigt eine weitere Situation (unregelmŠ§iges Dodekaeder).

Abb. 6: UnregelmŠ§iges Dodekaeder

Schlie§lich ergibt sich ein Rhombendodekaeder (Abb. 7).

Abb. 7: Rhombendodekaeder

Was ergibt sich, wenn wir noch weiter drehen?

2.4    ZurŸckdrehen

Wir kšnnen natŸrlich auch, ausgehend von der Situation der Abbildung 3, zurŸckdrehen, also im Gegensinn der in den Abbildungen 1 und 2 angegebenen Drehsinne. Die Abbildung 8 zeigt eine solche Position.

Abb. 8: ZurŸckdrehen

Wir erhalten ein nicht konvexes Dodekaeder mit nicht konvexen FŸnfecken als SeitenflŠchen.

Die Abbildung 9 zeigt als Sonderfall den Kemper-Stern (Carl Kemper, 1881-1957, Bildhauer und Architekt, Dornach).  

Abb. 9: Kemper-Stern

Die SeitenflŠchen des Kemper-Sterns sind gleichseitige FŸnfecke, welche aus dem regulŠren FŸnfeck gemŠ§ Abbildung 10 erhalten werden kšnnen.

Abb. 10: Das nicht-konvexe halbregulŠre FŸnfeck

Die Abbildung 11 zeigt ein Papiermodell des Kemper-Sterns.

Abb. 11: Papiermodell

Beim Weiterdrehen werden die acht Spitzen des Sterns immer schlanker (Abb. 12).

Abb. 12: Schlanke Spitzen

Bald sind sie dŸnn wie der Suppenkaspar und bestehen nur noch aus Linien. Dies sind die Raumdiagonalen des WŸrfels (Abb. 13).

Abb. 13: WŸrfeldiagonalen

2.5    †berdrehen

Wenn wir jetzt noch weiter zurŸckdrehen, entsteht eine sternartige Figur mit Selbstdurchdringung (Abb. 14).

Abb. 14: Selbstdurchdringung

Schlie§lich ergibt sich der Ikosaeder-Stern, ein Poinsot-Kšrper (Louis Poinsot, 1777-1859) (Abb. 15).

Abb. 15: Ikosaeder-Stern

Die Animation zeigt den Transformationsvorgang vom Ikosaeder-Stern bis zum Rhombendodekaeder.

 

Animation.GIF

Animation: Transformation

3     Raumpackung

Wir fŠrben eine Raumpackung aus WŸrfeln schachbrettartig (3d-ãSchachbrettÒ) gelb und rot. Bei den gelben WŸrfeln drehen wir auswŠrts, bei den roten WŸrfeln gleich viel einwŠrts. So entsteht eine Packung aus zwei Kšrpern. Die Abbildung 16 zeigt als Beispiel eine Packung aus regulŠren Dodekaedern und Kemper-Sternen.

Beschreibung: 20

Abb. 16: Raumpackung

Website

 

Carl Kemper (abgerufen 27.11.2019)

http://biographien.kulturimpuls.org/detail.php?&id=169