Hans Walser, [20180210]
WŸrfelhalbierung mit hyperbolischem Paraboloid
1 Halbierung
Der
WŸrfel mit den Eckpunktkoordinaten 
wird durch
das hyperbolische Paraboloid 
aus SymmetriegrŸnden
halbiert (Abb. 1).
Abb.1: Halbierung des WŸrfels
2 Ausschnitte
Die Abbildung 2a zeigt einen Ausschnitt, die Abbildung 2b denselben Ausschnitt um 90¡ gedreht. Die KrŸmmung der FlŠche ist in dieser Ansicht nicht mehr so gut erkennbar. Der kleine WŸrfel des Ausschnittes wird natŸrlich nicht mehr durch das hyperbolische Paraboloid halbiert.
Abb. 2: Ausschnitt
Die Abbildung 3 zeigt einen anderen Ausschnitt.
Abb. 3: Anderer Ausschnitt
Die beiden Ausschnitte ergŠnzen sich gegenseitig zum kleinen WŸrfel.
In der Abbildung 4 sind diese beiden Ausschnitte neu im WŸrfel angeordnet.
Abb. 4: Anordnung im WŸrfel
3 Noch eine WŸrfelhalbierung
Wir drehen nun Kopien dieser Konfiguration um die WŸrfeldiagonale von hinten unten nach vorne oben um ±120¡ (Abb. 5).
Abb. 5: Drehen um eine WŸrfeldiagonale
Um die rŠumliche Situation besser zu erkennen, drehen wir die Gesamtkonfiguration um eine senkrechte Achse um 90¡ (Abb. 6).
Abb. 6: Andere Sicht
Wir sehen, dass ein WŸrfelchen ãfehltÒ. Das ist auch richtig, denn wir haben insgesamt sechs kleine WŸrfel verarbeitet. Links unten und rechts oben fehlt ein WŸrfelchen. Das rechts oben ist in den Wolken, aber den links unten kšnnen wir ergŠnzen (Abb. 7).
Abb. 7: ErgŠnzung zum gro§en WŸrfel
Wir haben nun erneut eine WŸrfelhalbierung. Die TrennflŠche ist aus sechs kongruenten StŸcken von hyperbolischen Paraboloiden zusammengesetzt.
4 Stern mit zwšlf Spitzen
Wir kleben nun acht Exemplare des Kšrpers der Abbildung 7 RŸcken an RŸcken, das hei§t an den blauen FlŠchen zusammen. Dadurch entsteht ein Stern mit zwšlf Spitzen (Abb. 8).
Abb. 8: Stern mit zwšlf Spitzen
Der Stern passt in einen doppelt so gro§en WŸrfel. Die Spitzen sind an den Kantenmitten. Der Stern halbiert den gro§en WŸrfel.
5 RaumfŸller
Der Stern ist ein RaumfŸller. Wir kšnnen den Raum lŸckenlos und Ÿberlappungsfrei mit solchen Sternen auffŸllen. Die Packung ist kubisch raumzentriert.
Die Abbildung 9 zeigt eine kubische Anordnung.
Abb. 9: Sternenpackung
Die Abbildung 10 zeigt eine pyramidale Anordnung.
Abb. 10: Pyramide