Hans Walser, [20161011]

Winkler-Graph

1     Worum geht es?

Es wird eine Schritt-fŸr-Schritt-Konstruktion des Winkler-Graphs (Winkler 2016) mit Beweis der Schlie§ungseigenschaft besprochen.

Der Winkler-Graph (Abb. 1) ist ein 4-regulŠrer Streichholzgraph mit 114 Kanten. Nach dem Harborth-Graph (104 Kanten) ist er der zweitkleinste bekannte 4-regulŠre Streichholzgraph.

Abb. 1: Winkler-Graph

2     Konstruktionsvorgang

Wir beginnen mit drei gleichseitigen Dreiecken der KantenlŠnge 1 gemŠ§ Abbildung 2.

Abb. 2: Beginn

Bei den noch nicht regulŠren Knoten ist die Anzahl der einmŸndenden Kanten angegeben.

Nun bauen wir ein gleichschenkliges Dreieck der SchenkellŠnge 2 auf (Abb. 3).

Abb. 3: Gleichschenkliges Dreieck

Wir ergŠnzen gemŠ§ Abbildung 4 mit zwei Dreiecken und zwei Rhomben.

Abb. 4: Dreieck und Rhombus

Wir fŸgen zwei weitere Rhomben an (Abb. 5).

Abb. 5: Rhombus

Der obere der beiden in der Abbildung 6 rot eingezeichneten Winkel ist Au§enwinkel des gleichseitigen Dreiecks und misst 120¡. Der untere Winkel hat parallele Schenkel und ist daher gleich gro§.

Abb. 6: Winkel von 120¡

Wir kšnnen also gleichseitige Dreiecke einfŸgen (Abb. 7).

Abb. 7: Gleichseitige Dreiecke

3     Triplet-Kite

Nun kšnnen wir mit gleichseitigen Dreiecken und Rhomben zum Triplet-Kite erweitern (Abb. 8).

Abb. 8: Triplet-Kite

Die beiden FlŸgeldreiecke im Triplet-Kite sind seitenparallel. Das geht aus der RichtungsŸbertragungskette der Abbildung 9 hervor.

Abb. 9: RichtungsŸbertragung

In der Abbildung 10 sind drei um 120¡ verdrehte Triplet-Kites eingezeichnet. Deren FlŸgeldreiecke sind seitenparallel und kšnnen daher Ÿberlagert und identifiziert werden. So erhalten wir den Winkler-Graphen der Abbildung 1.

Abb. 10: Drei Triplet-Kites

4     RegularitŠt

Die Abbildung 11 illustriert die Anzahlen der einmŸndenden Kanten. Der Gesamtgraph ist regulŠr.

Abb. 11: RegulŠrer Graph

5     Schlie§ungsfigur

In der Abbildung 1 ist die RichtungsŸbertragung als Schlie§ungsfigur dargestellt.

Abb. 12: RichtungsŸbertragung

 

Literatur

Winkler, Mike (2016): Ein neuer 4-regulŠrer Streichholzgraph. Mitteilungen der DMV 24 / 2016. 74-75.

Winkler, Mike und Dinkelacker, Peter und Vogel, Stefan (2016): New minimal (4,n)-regular matchstick graphs. arXiv:1604.07134v2

 

Links

 

Harborth-Graph (09.10.2016):

https://de.wikipedia.org/wiki/Streichholzgraph#/media/File:Harborth_graph_vector.svg

 

Mike Winkler Homepage (09.10.2016):

http://www.mikewinkler.co.nf