Hans Walser, [20230612]
Winkelhalbierendenabschnitte
Anregung: Helmut Mallas, Flensburg
Ganzzahlige Spielerei in der Dreiecksgeometrie. Inkreis. Pythagoreische Dreiecke.
Gesucht ist ein Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen a, b, c, ganzzahligem Inkreisradius r und ganzzahligen Abschnitten von den Ecken zum Mittelpunkt des Inkreises.
Im Beispiel der Abbildung 1 ist: AI = 275, BI = 429, CI = 325, r = 165, a = 676, b = 500, c = 616.
Abb. 1: Beispiel
Wir können das Dreieck in sechs rechtwinklige Dreiecke zerlegen, welche paarweise spiegelbildlich sind (Abb. 2). Die Hypotenusen der Dreiecke sind die Abschnitte AI, BI und CI, die eine Kathete ist der Inkreisradius r. Die jeweils zweite Kathete ist ebenfalls ganzzahlig. Die sechs Dreiecke sind pythagoreische Dreiecke.
Abb. 2: Analyse des Beispiels
Die hellblauen Dreiecke haben das Seitenverhältnis 165:220:275 = 3:4:5. Dies ist das ägyptische pythagoreische Dreieck.
Die orangen Dreiecke haben das Seitenverhältnis 165:396:429 = 5:12:13. Dies ist das indische pythagoreische Dreieck.
Die magenta Dreiecke haben das Seitenverhältnis 165:280:325 = 33:56:65. Dies ist das schleswig-holsteinische pythagoreische Dreieck. Kontrolle: 332 + 562 = 1089 + 3136 = 4225 = 652.
Je zwei der außenliegenden Katheten ergeben eine Dreiecksseite. Die Dreiecksseiten sind daher ganzzahlig.
Wir müssen drei Paare von pythagoreischen Dreiecken finden, deren Winkel beim Inkreismittelpunkt I „aufgehen“, sich also auf 360° addieren.
Die klassische Parametrisierung der pythagoreischen Dreiecke geht wie folgt. Zu teilerfremden ganzzahligen u > v > 0 mit ungleicher Parität sind a = u2 – v2, b = 2uv, c = u2 + v2 die Seiten eines pythagoreischen Dreieckes. Die Seiten sind teilerfremd. Weiter ist β = 2arctan(v/u). Beweis durch Nachrechnen (Additionstheorem für den Tangens).
In unserem Beispiel:
Für u1 = 2 und v1
= 1 ergibt sich a1 = 3, b1 = 4, c1
= 5 (ägyptisches Dreieck). Es ist β1 ≈ 53.130102354155979°.
Für u2 = 3 und v2 = 2 ergibt sich a2
= 5, b2 = 12, c2 = 13 (indisches Dreieck).
Es ist β2 ≈ 67.380135051959574°.
Für u3 = 7 und v3 = 4 ergibt sich a3 = 33, b3 = 56, c3 = 65. Es ist β3 ≈ 59.489762593884447°.
Weiter ist 2(β1 + β2 + β3) = 360°. Dies kann auch in der Form arctan(v1/u1) + arctan(v2/u2) + arctan(v3/u3) = π/2 geschrieben werden.
Wir benötigen zunächst drei Parameterpaare u1, v1, u2, v2, u3, v3 mit arctan(v1/u1) + arctan(v2/u2) + arctan(v3/u3) = π/2. Die zugehörigen pythagoreischen Dreiecke setzen wir an den Ecken mit den Winkeln β zusammen. Die von diesen Ecken ausgehenden Katheten bringen wir auf eine gemeinsame Länge, indem wir die Dreiecke auf das kleinste gemeinsame Vielfache der Katheten strecken. Dies ist der Inkreisradius.
Die Bedingung arctan(v1/u1) + arctan(v2/u2) + arctan(v3/u3) = π/2 formen wir um. Zunächst folgt aus dem Additionstheorem für den Tangens
tan(arctan(v1/u1) + arctan(v2/u2)) = (v1u2 + v2u1)/(u1u2 – v1v2)
also:
arctan(v1/u1)
+ arctan(v2/u2) = arctan((v1u2 + v2u1)/(u1u2 – v1v2))
Wegen
arctan(x) +
arctan(1/x) = π/2
ist arctan(v1/u1)
+ arctan(v2/u2) + arctan((u1u2 – v1v2)/ (v1u2 + v2u1)) = π/2
Wir verfahren nun asymmetrisch, indem wir u1, v1, u2, v2 wählen und u3, v3 passend bestimmen, nämlich zunächst u3 = v1u2 + v2u1 und v3 = u1u2 – v1v2. Dann kürzen wir u3 und v3 mit dem größten gemeinsamen Teiler. Wenn nun u3 > v3 > 0, können wir diese Werte als Parameter für das dritte pythagoreische Dreieck verwenden. Andernfalls müssen wir u1, v1, u2, v2 neu wählen.
Schließlich müssen die pythagoreischen Dreiecke noch so gestreckt werden, dass die von den gemeinsamen Ecken ausgehenden Katheten gleich lang werden. Dies ist dann der Inkreisradius.
Die Tabelle 1 gibt einige Lösungen. Die grün markierten Parameter sind gewählt, die restlichen Daten berechnet. Die Daten wiederholen sich in vertauschten Reihenfolgen.
u1 |
v1 |
u2 |
v2 |
u3 |
v3 |
a |
b |
c |
r |
AI |
BI |
CI |
2 |
1 |
2 |
1 |
4 |
3 |
100 |
100 |
56 |
21 |
35 |
35 |
75 |
2 |
1 |
3 |
2 |
7 |
4 |
676 |
500 |
616 |
165 |
275 |
429 |
325 |
2 |
1 |
4 |
3 |
2 |
1 |
100 |
56 |
100 |
21 |
35 |
75 |
35 |
2 |
1 |
5 |
2 |
9 |
8 |
3364 |
3500 |
816 |
357 |
595 |
493 |
3045 |
2 |
1 |
5 |
4 |
13 |
6 |
6724 |
3000 |
6916 |
1197 |
1995 |
5453 |
1845 |
2 |
1 |
6 |
5 |
16 |
7 |
14884 |
5500 |
15456 |
2277 |
3795 |
12627 |
3355 |
3 |
2 |
2 |
1 |
7 |
4 |
500 |
676 |
616 |
165 |
429 |
275 |
325 |
3 |
2 |
3 |
2 |
12 |
5 |
2028 |
2028 |
2856 |
595 |
1547 |
1547 |
845 |
3 |
2 |
4 |
1 |
11 |
10 |
1156 |
1352 |
308 |
105 |
273 |
119 |
1105 |
3 |
2 |
4 |
3 |
17 |
6 |
37500 |
28392 |
51612 |
8855 |
23023 |
31625 |
11375 |
3 |
2 |
5 |
2 |
16 |
11 |
3364 |
4732 |
3168 |
945 |
2457 |
1305 |
2639 |
3 |
2 |
5 |
4 |
22 |
7 |
6724 |
4056 |
8932 |
1305 |
3393 |
5945 |
1599 |
3 |
2 |
6 |
5 |
27 |
8 |
44652 |
22308 |
57456 |
7315 |
19019 |
40565 |
8723 |
4 |
1 |
3 |
2 |
11 |
10 |
1352 |
1156 |
308 |
105 |
119 |
273 |
1105 |
4 |
1 |
4 |
3 |
16 |
13 |
25000 |
16184 |
12064 |
3045 |
3451 |
10875 |
14875 |
4 |
1 |
5 |
4 |
21 |
16 |
13448 |
6936 |
8288 |
1665 |
1887 |
7585 |
6273 |
4 |
1 |
6 |
5 |
26 |
19 |
29768 |
12716 |
20748 |
3465 |
3927 |
19215 |
11407 |
4 |
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
56 |
100 |
100 |
21 |
75 |
35 |
35 |
4 |
3 |
3 |
2 |
17 |
6 |
28392 |
37500 |
51612 |
8855 |
31625 |
23023 |
11375 |
4 |
3 |
4 |
1 |
16 |
13 |
16184 |
25000 |
12064 |
3045 |
10875 |
3451 |
14875 |
4 |
3 |
4 |
3 |
24 |
7 |
15000 |
15000 |
25296 |
3689 |
13175 |
13175 |
4375 |
4 |
3 |
5 |
2 |
23 |
14 |
6728 |
12500 |
10212 |
2331 |
8325 |
3219 |
5075 |
4 |
3 |
5 |
4 |
31 |
8 |
94136 |
75000 |
148304 |
18837 |
67275 |
85813 |
21525 |
4 |
3 |
6 |
1 |
22 |
21 |
32856 |
37500 |
5676 |
1505 |
5375 |
1591 |
32375 |
4 |
3 |
6 |
5 |
38 |
9 |
625128 |
412500 |
932292 |
104951 |
374825 |
582001 |
117425 |
5 |
2 |
2 |
1 |
9 |
8 |
3500 |
3364 |
816 |
357 |
493 |
595 |
3045 |
5 |
2 |
3 |
2 |
16 |
11 |
4732 |
3364 |
3168 |
945 |
1305 |
2457 |
2639 |
5 |
2 |
4 |
3 |
23 |
14 |
12500 |
6728 |
10212 |
2331 |
3219 |
8325 |
5075 |
5 |
2 |
5 |
4 |
30 |
17 |
235340 |
100920 |
207740 |
38493 |
53157 |
175357 |
74907 |
5 |
2 |
6 |
5 |
37 |
20 |
520940 |
185020 |
478040 |
74613 |
103037 |
413763 |
136213 |
5 |
4 |
2 |
1 |
13 |
6 |
3000 |
6724 |
6916 |
1197 |
5453 |
1995 |
1845 |
5 |
4 |
3 |
2 |
22 |
7 |
4056 |
6724 |
8932 |
1305 |
5945 |
3393 |
1599 |
5 |
4 |
4 |
1 |
21 |
16 |
6936 |
13448 |
8288 |
1665 |
7585 |
1887 |
6273 |
5 |
4 |
4 |
3 |
31 |
8 |
75000 |
94136 |
148304 |
18837 |
85813 |
67275 |
21525 |
5 |
4 |
5 |
2 |
30 |
17 |
100920 |
235340 |
207740 |
38493 |
175357 |
53157 |
74907 |
5 |
4 |
5 |
4 |
40 |
9 |
67240 |
67240 |
121520 |
13671 |
62279 |
62279 |
15129 |
5 |
4 |
6 |
1 |
29 |
26 |
32856 |
47068 |
16588 |
3465 |
15785 |
3663 |
31857 |
5 |
4 |
6 |
5 |
49 |
10 |
446520 |
369820 |
751660 |
75933 |
345917 |
421083 |
82533 |
6 |
1 |
4 |
3 |
22 |
21 |
37500 |
32856 |
5676 |
1505 |
1591 |
5375 |
32375 |
6 |
1 |
5 |
4 |
29 |
26 |
47068 |
32856 |
16588 |
3465 |
3663 |
15785 |
31857 |
6 |
1 |
6 |
5 |
36 |
31 |
312564 |
180708 |
149544 |
25795 |
27269 |
143045 |
173789 |
6 |
5 |
2 |
1 |
16 |
7 |
5500 |
14884 |
15456 |
2277 |
12627 |
3795 |
3355 |
6 |
5 |
3 |
2 |
27 |
8 |
22308 |
44652 |
57456 |
7315 |
40565 |
19019 |
8723 |
6 |
5 |
4 |
1 |
26 |
19 |
12716 |
29768 |
20748 |
3465 |
19215 |
3927 |
11407 |
6 |
5 |
4 |
3 |
38 |
9 |
412500 |
625128 |
932292 |
104951 |
582001 |
374825 |
117425 |
6 |
5 |
5 |
2 |
37 |
20 |
185020 |
520940 |
478040 |
74613 |
413763 |
103037 |
136213 |
6 |
5 |
5 |
4 |
49 |
10 |
369820 |
446520 |
751660 |
75933 |
421083 |
345917 |
82533 |
6 |
5 |
6 |
1 |
36 |
31 |
180708 |
312564 |
149544 |
25795 |
143045 |
27269 |
173789 |
6 |
5 |
6 |
5 |
60 |
11 |
223260 |
223260 |
417480 |
38269 |
212219 |
212219 |
40931 |
Tab. 1: Einige Lösungen
Die Zahlen sind recht groß und lassen sich nicht visualisieren.
Der Umfang und der Inkreisradius der Dreiecke sind ganzzahlig, daher ist der Flächeninhalt ganzzahlig oder halbzahlig. Die Seitenlängen sind ganzzahlig. Somit sind die zugehörigen Dreieckshöhen rational. Durch Strecken der Dreiecke mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen aller vorkommenden Nenner können die Höhen ganzzahlig dargestellt werden. Die übrigen Daten bleiben dabei ganzzahlig.
Problemstellung und Verfahren können verallgemeinert werden wie folgt. Gesucht ist ein Tangenten-n-Eck mit ganzzahligen Seitenlängen, ganzzahligem Inkreisradius und ganzzahligen Abschnitten von den Ecken zum Mittelpunkt des Inkreises.
Wir besprechen exemplarisch ein Tangentenviereck. Zunächst wählen wir drei Parameterpaare u1, v1, u2, v2, u3, v3. Aus dem Additionstheorem für den Tangens folgt:
arctan(v1/u1) + arctan(v2/u2) + arctan(v3/u3) = arctan((v1u2u3 + u1v2u3 + u1u2v3 – v1v2v3)/(u1u2u3 – v1v2u3 – v1u2v3 – u1v2v3))
Wir definieren nun
u4 = v1u2u3 + u1v2u3 + u1u2v3 – v1v2v3
v4 = u1u2u3 – v1v2u3 – v1u2v3 – u1v2v3
und kürzen mit allfälligen gemeinsamen Teilern. Sofern u4 > v4 > 0 (andernfalls müssen wir die drei Parameterpaare u1, v1, u2, v2, u3, v3 neu wählen) ergibt sich:
arctan(v1/u1) + arctan(v2/u2) + arctan(v3/u3) + arctan(v4/u4) = π/2
Wir können nun vier Paare von spiegelbildlichen pythagoreischen Dreiecken nach geeignetem Strecken auf den Inkreisradius zu einem ganzzahligen Tangentenviereck zusammensetzen.
Beispiel: Mit u1 = 2, v1 = 1, u2 = 3, v2 = 2, u3 = 4, v3 = 1 ergibt sich u4 = 32, v4 = 9.
Für das zugehörige Tangentenviereck (Abb. 3) gilt: AI = 23575, BI = 36777, CI = 16031, DI = 16575, r = 14145, a = 52808, b = 41492, c = 16184, d = 27500.
Abb. 3: Ganzzahliges Tangentenviereck
Weblinks
Hans Walser: Inkreismittelpunktabschnitte
Hans Walser: Tangentenviereck
http://www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/T/Tangentenviereck/Tangentenviereck.html