Hans Walser, [20141105]

Winkelhalbierende Kreise

Anregung und Idee: U. H.-J., W.

1     Worum geht es?

Im Dreieck werden die Zentren des Inkreises und der Ankreise traditionellerweise mit winkelhalbierenden Geraden konstruiert. Es geht aber auch mit ãwinkelhalbierendenÒ Kreisen (rot und blau in Abb. 1).

 

Abb. 1: Inkreis und Ankreise

 

Die Frage ist natŸrlich, warum das ãwinkelhalbierendeÒ Kreise sind, das hei§t, welchen Winkel sie halbieren,  und wie sie konstruiert werden kšnnen.

2     Winkelhalbierende Kreise

Zu einem Dreieck ABC mit der Ÿblichen Notation zeichnen wir den Umkreis mit dem Mittelpunkt D sowie die Bogenmitten  und . Diese Bogenmitten liegen auf der Mittelsenkrechten  (Abb. 2). Nun zeichnen wir den blauen Kreis mit dem Zentrum  durch A. Aus SymmetriegrŸnden verlŠuft er auch durch B.

Ferner zeichnen wir in A das Lot auf die Seite c. Dann sind die in der Abbildung 2 eingezeichneten zyanfarbenen und magentafarbenen Winkel alle gleich gro§, nŠmlich .

 

Abb. 2: Winkelhalbierender Kreis

 

Der blaue Kreis halbiert also den Winkel zwischen der Seite c und dem durch  verlaufenden Bogen  des Umkreises. Der kurze Bogen  des blauen Kreises ist Ortsbogen Ÿber c fŸr den Winkel . Der lange Bogen  des blauen Kreises ist Ortsbogen Ÿber c fŸr den ErgŠnzungswinkel . Daher liegen (WinkelŸberlegungen mit Ÿblichen Winkelhalbierenden) auch die Mittelpunkte der Ankreise an a und an b auf dem langen Bogen  des blauen Kreises.

Weiter zeichnen wir den roten Kreis mit dem Zentrum  durch A (Abb. 3). FŸr diesen roten Kreis kšnnen wir analog zum blauen Kreis Ÿberlegen, wobei der Dreieckswinkel  durch den Au§enwinkel  zu ersetzen ist.

 

Abb. 3: Zweiter winkelhalbierender Kreis

 

Der kurze Bogen  des roten Kreises ist Ortsbogen Ÿber c fŸr den Winkel . Daher liegt (WinkelŸberlegungen mit Ÿblichen Winkelhalbierenden) der Inkreismittelpunkt auf diesem kurzen Bogen . Der lange Bogen  des roten Kreises ist Ortsbogen Ÿber c fŸr den Winkel . Daher liegt der Mittelpunkt des Ankreises an c auf diesem Bogen.

Durch zyklische Vertauschung erhalten wir daher:

Die drei roten Kreise schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt des Inkreises.

Je zwei blaue und ein roter Kreis schneiden sich in einem Punkt, dem Mittelpunkt eines Ankreises.

Die Abbildung 4 zeigt nochmals die Abbildung 1, nun aber mit Konstruktionsinformationen.

 

Abb. 4: Konstruktion