Hans Walser, [20190911]
Winkeldrittelung mit Lemniskate
Anregung: J. L., F.
Die Lemniskate von Bernoulli liefert ein Einschiebe-Verfahren zur Winkeldrittelung.
Die Lemniskate ist eine ăliegende AchtŇ (Abb. 1).
In eine Lemniskate zeichnen wir den zu drittelnden Winkel ein gemŠ§ Abbildung 1.
Abb. 1: Lemniskate und Winkel
Zum zweiten Schenkel des Winkels zeichnen wir eine Normale (Abb. 2).
Abb. 2: Normale
Wir verschieben die Normale, bis sie die Lemniskate berźhrt (dies ist das ăEinschiebenŇ, Abb. 3).
Abb. 3: Verschieben bis zur Berźhrung
Mit dem Berźhrungspunkt ergibt sich der Drittelwinkel (Abb. 4).
Abb. 4: Drittelwinkel
Wir haben die Stimmigkeit der Figur der Abbildung 5 zu zeigen.
Abb. 5: Was zu zeigen ist
Die Lemniskaten-Schleife der Abbildung 5 hat die Polargleichung:
(1)
Daraus ergibt sich die Parameterdarstellung:
(2)
Fźr den Tangentialvektor erhalten wir (die Additionstheoreme sind immer wieder gut):
(3)
Dieser Vektor (3) ist orthogonal zum Vektor (4):
(4)
Der Vektor (4) ist aber der Richtungsvektor des zweiten Schenkels des Winkels 3t. Damit ist der Sachverhalt bewiesen.
Die Hoch- und Tiefpunkte der Lemniskate definieren zusammen mit dem Zentrum gleichseitige Dreiecke (Abb. 6).
Abb. 6: Gleichseitige Dreiecke
Was geschieht, wenn wir die Lemniskate durch einen Doppelkreis ersetzen (Abb. 7)? Das ist ja auch eine ăliegende AchtŇ.
Abb. 7: Doppelkreis
Zum zweiten Schenkel des Winkels zeichnen wir eine Normale (Abb. 8).
Abb. 8: Normale
Wir verschieben die Normale, bis sie den Doppelkreis berźhrt (Abb. 9).
Abb. 9: Verschieben bis zur Berźhrung
Mit dem Berźhrungspunkt ergibt sich ein halber Winkel (Abb. 10).
(Der Autor gesteht, dass es auch einfachere Methoden gibt, einen Winkel zu halbieren.)
Abb. 10: Halber Winkel
Fźr den Beweis tragen wir, wie in der Sekundarschule gelernt, den Berźhrungsradius ein (Abb. 11).
Abb. 11: Berźhrungsradius
Es entsteht ein gleichschenkliges Dreieck. Der Au§enwinkel an der Spitze ist gleich dem Startwinkel. Die Basiswinkel sind halb so gro§.
Damit am Schluss eine Frage offen bleibt: welche ăliegende AchtŇ fźhrt zu einer Winkel-Viertelung?
Websites
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www.walser-h-m.ch/hans/Miniaturen/W/Winkelhalbierung/Winkelhalbierung.htm
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