Hans Walser, [20121104x]
Winkel im Dreieck
1 Ausgangslage
Wir unterteilen die Seiten eines regelmŠ§igen Dreieckes in je 60 Teile. Dann gelten zwischen den Seitenanteilen und Winkel die Beziehungen der Abbildung 1.
Abb. 1: Seitenanteile und Winkel, korrekt
2 Der Fehler
Wir vermuten, dass die Seitenanteile und die Winkel generell źbereinstimmen. Die Abbildung 2 zeigt zwei Beispiele dazu.
Abb. 2: Achtung Fehler!
3 Wo steckt der Fehler?
Der Fehler steckt darin, dass in unserem Kontext die LinearitŠt (also die VerhŠltnismŠ§igkeit) nicht gilt. Letztlich liegt das daran, dass die Tangensfunktion nicht linear ist. Die Abbildung 3 zeigt die (approximativ) korrekten Winkelangaben.
Abb. 3: Die richtigen Winkel
Obwohl die Seite gedrittelt wird, haben wir keine Winkeldrittelung.
4 Wie wird das gerechnet?
Wir kšnnen zum Beispiel wie folgt den Winkel berechnen (Abb. 4).
Abb. 4: Berechnung
Im Beispiel der Abbildung 4 erhalten wir:
und daraus:
Allgemein gilt gemŠ§ Abbildung 5:
Abb. 5: Bezeichnungen
und daher:
.
5 Tabelle und Graf
Die Tabelle 1 zeigt die Funktionswerte in extenso.
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x |
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|
|
x |
|
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0 |
0ˇ |
|
|
30 |
30ˇ |
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1 |
0.833884ˇ |
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31 |
31.102522ˇ |
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2 |
1.681537ˇ |
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|
32 |
32.204228ˇ |
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3 |
2.542924ˇ |
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33 |
33.304305ˇ |
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4 |
3.417981ˇ |
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34 |
34.401950ˇ |
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5 |
4.306619ˇ |
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35 |
35.496367ˇ |
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6 |
5.208719ˇ |
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36 |
36.586776ˇ |
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7 |
6.124132ˇ |
|
|
37 |
37.672414ˇ |
|
8 |
7.052677ˇ |
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|
38 |
38.752538ˇ |
|
9 |
7.994141ˇ |
|
|
39 |
39.826430ˇ |
|
10 |
8.948276ˇ |
|
|
40 |
40.893395ˇ |
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11 |
9.914799ˇ |
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41 |
41.952767ˇ |
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12 |
10.893395ˇ |
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42 |
43.003912ˇ |
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13 |
11.883707ˇ |
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|
43 |
44.046226ˇ |
|
14 |
12.885347ˇ |
|
|
44 |
45.079138ˇ |
|
15 |
13.897886ˇ |
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|
45 |
46.102114ˇ |
|
16 |
14.920862ˇ |
|
|
46 |
47.114653ˇ |
|
17 |
15.953774ˇ |
|
|
47 |
48.116293ˇ |
|
18 |
16.996088ˇ |
|
|
48 |
49.106605ˇ |
|
19 |
18.047233ˇ |
|
|
49 |
50.085201ˇ |
|
20 |
19.106605ˇ |
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|
50 |
51.051724ˇ |
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21 |
20.173570ˇ |
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|
51 |
52.005859ˇ |
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22 |
21.247462ˇ |
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52 |
52.947323ˇ |
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23 |
22.327586ˇ |
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53 |
53.875868ˇ |
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24 |
23.413224ˇ |
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54 |
54.791281ˇ |
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25 |
24.503633ˇ |
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|
55 |
55.693381ˇ |
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26 |
25.598050ˇ |
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56 |
56.582019ˇ |
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27 |
26.695695ˇ |
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57 |
57.457076ˇ |
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28 |
27.795772ˇ |
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58 |
58.318463ˇ |
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29 |
28.897478ˇ |
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|
59 |
59.166116ˇ |
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30 |
30ˇ |
|
|
60 |
60ˇ |
Tab. 1: Funktionswerte
Die Abbildung 6 zeigt den Funktionsgrafen.
Abb. 6: Funktionsgraf
Wir sehen sowohl in der
Tabelle wie auch im Funktionsgrafen, dass die Abweichung von der falschen
Vermutung 
nicht sehr gro§
ist.
6 Didaktisches
Im Schulunterricht sind zur Zeit Modellierungen gro§e Mode. Dabei soll die Modellierung stufengerecht mšglichst einfach sein. Unser Beispiel zeigt, dass die einfache Modellierung durch eine lineare Funktion falsch ist, wenn auch im von uns betrachteten Fall nicht krass falsch. Wird allerdings der Bereich ausgedehnt, ergeben sich starke Fehler.
Abb. 7: Abweichungen
Die Differenzialrechnung ist ein wichtiges Beispiel, wo mit lokalen Linearisierungen gearbeitet wird.
7 Einfacheres Beispiel
Wir arbeiten in einem rechtwinkligen Dreieck gemŠ§ Abbildung 8.
Abb. 8: Einfacheres Beispiel