Hans Walser, [20161122]

Viereck-Viertelung

Anregung: Heinz Klaus Strick, Leverkusen

1     Eine Eigenschaft des Vierecks

Lehrsatz von D. Brune (Brune 1841): ãWenn man in einem Vierecke mit jeder der beiden Diagonalen durch den Mittelpunkt der andern eine Parallele zieht und den Durchschnittspunct dieser Parallelen mit den Mittelpuncten der vier Seiten durch gerade Linien verbindet, so theilen letztere das Viereck in vier flŠchengleiche Theile.Ò

2     Beweis

Die Situation affin invariant.

Wir transformieren das Viereck mit einer affinen Abbildung, welche das Seitenmittenparallelogramm auf das Einheitsquadrat abbildet (Abb. 1). Das Viereck hat nun orthogonale Diagonalen der LŠnge 2 und damit den FlŠcheninhalt 2. Jedes Teilviereck gemŠ§ Konstruktion des Lehrsatzes hat eine Quadratseite der LŠnge 1 als Diagonale. Diese teilt das Teilviereck in zwei Dreiecke mit dieser gemeinsamen Grundlinie 1. Die zugehšrigen Hšhen ergŠnzen sich auf 1. Die FlŠchen der beiden Dreiecke ergŠnzen sich somit auf ½. Jedes Teilviereck hat also den FlŠcheninhalt ½. Dies ist ein Viertel des FlŠcheninhaltes des gesamten Ausgangsviereckes. Dies war zu beweisen.

Abb. 1: Affine Transformation

3     Parkettierung

Die Abbildung 2 zeigt die Ÿbliche Parkettierung mit dem Ausgangsviereck der Abbildung 1.

Abb. 2: Parkettierung

Literatur

Brune, D. (1841): Eine Eigenschaft des Vierecks. Journal fŸr die reine und angewandte Mathematik. 22. S. 379.